2018, Vol. 39
航空发动机主减速器在滑油泄漏时，将逐步的由完全弹流润滑向干运转过渡。主减速器中运用最多的是弧齿锥齿轮，在干运转状态下由于齿轮的摩擦生热将导致弧齿锥齿轮本体的温度迅速上升，进而出现磨损、胶合、卡死等现象导致齿轮失效。因此，弧齿锥齿轮必须具备在干运转情况下有效运行一定时间的能力。
齿轮正常运转的时间预测需要对齿轮进行热分析，对完全弹流润滑下的弧齿锥齿轮热分析已经进行了大量的研究。Handschuh等[1]建立了弧齿锥齿轮的单齿有限元模型，计算得到了弧齿锥齿轮的温升曲线和稳态温度场。Harold等[2]对弧齿锥齿轮传动进行了实验研究并得到了实验状态下齿轮的温度场。为了进一步分析不同工况对齿轮温度的影响情况，罗善明等[3]在不同的载荷、转速下计算出了齿轮的本体温度。Toshimi等[4]对齿轮啮合瞬间产生的闪温进行了研究，并将计算结果与Blok闪温准则和实验结果进行了比较，最终给出了载荷、周期以及修形量等对闪温的影响。Deng等[5]通过实验研究了闪温过程中齿轮参数、转速和润滑情况对初始温度的影响。
在齿轮的干运转方面，国内外的专家也做了很多研究。为了精确地得到弧齿锥齿轮在啮合过程中的接触区，从而更加有效地计算出齿轮的生热分布，使得温度场的计算更加精确，王延忠等[6]在完善轮齿接触分析(ETCA)的基础上对弧齿锥齿轮进行了加载接触分析，得到了齿轮的接触区域。Dhanasekaran等[7]在干运转条件下进行了齿轮传动的研究，得到了弧齿锥齿轮在实验状态下的磨损状况。王延忠等[8]对弧齿锥齿轮在干运转下的瞬态温度场进行了三维有限元分析，得到了齿轮传动过程中高温区集中的位置。之后，严宏志等[9]建立了弧齿锥齿轮单齿的有限元模型，得到了齿轮干运转下齿面温度随时间的变化规律。闫玉涛[10]对弧齿锥齿轮失油状态下的生存能力预测展开研究，并提出了提高弧齿锥齿轮生存能力的措施。袁杰红等[11]用完全弹流润滑下齿轮的稳态温度场作为初始条件，运用Simulink计算出了干运转下齿轮传动系统的瞬态温度场。
由以上的研究可以发现，目前对于弧齿锥齿轮的热分析主要停留在单齿模型的阶段，这种简化在减小计算量的同时必然会带来误差。本文选取了连轴弧齿锥模型进行瞬态热分析[12, 13]，得到了该模型下的瞬态温度场和温升曲线，在同一工况下将连轴弧齿锥模型和经典的单齿模型的计算结果进行了比较，得到两种计算模型的差异。本文将弧齿锥齿轮热分析的边界拓展到连接弧齿锥齿轮的轴上，有助于提高对弧齿锥齿轮在干运转下寿命预测的精确性[14]。
2 热分析模型的建立 2.1 几何模型的建立本节根据弧齿锥齿轮的轮齿啮合原理，使用CATIA建立了弧齿锥齿轮三维模型。啮合齿轮对的具体几何参数如表 1所示。
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Table 1 Design parameters of spiral bevel gears |
通常在干运转情况下啮合齿轮对中的小齿轮温升大于大齿轮，因此本文仅研究小齿轮(主动轮)的温度场。另外由于在高速运转情况下，齿面啮合的时间和旋转周期较小，可认为在某一瞬时所有齿的温度场是相同的。因此可以通过分析单个齿的温度场来确定整个齿轮的温度分布情况。同时，考虑到弧齿锥齿轮向相连轴的热传导，本文建立了连轴弧齿锥模型，见图 1(a)。为了与连轴弧齿锥模型进行对比，本文同时建立了传统齿轮热分析中常用的单齿模型，见图 1(b)。
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Fig. 1 Geometric model of spiral bevel gear |
接触问题的约束接触条件包括接触面的不可侵入性、法向压力和切向摩擦力。其约束条件只有在发生接触时才生效，即其具有特殊的不连续性。对齿轮副做有限元加载接触分析时，最重要的就是正确判断接触状态以及确定约束条件[15]。
本文将弧齿锥齿轮模型导入ABAQUS进行非线性有限元加载接触分析，大小齿轮均仅有绕轴线的转动自由度，小齿轮施加转速，大齿轮施加阻力矩。然后进行显示动力学分析得到弧齿锥齿轮啮合迹线与接触椭圆，为后文热分析中热量加载区域的确定提供依据。从主动轮啮合齿面某一时刻的接触应力云图(图 2)分析可知，在齿轮副啮合瞬时，由于点接触将产生一条狭长的接触椭圆，该椭圆沿着啮合迹线从齿根到齿顶方向移动形成完整的接触区域。
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Fig. 2 Contact pressure distribution for meshing surface of driving gear |
在对弧齿锥齿轮进行干运转情况下的热分析时，齿轮温度场是随时间变化的，即其为非稳态传热过程。本文假设齿轮材料是各向同性的且无内热源，则根据傅利叶导热定律可得非稳态的导热微分方程
| $\rho c\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right) $ | (1) |
式中ρ和c分别为材料的密度和比热容；λ为材料的导热系数。
在求解非稳态导热微分方程时，需要给定初始条件和热边界条件。初始温度根据相关实验，选取断油时的温度为110℃，根据传热学原理，在模型上加载不同的热边界。
如图 3(a)和(b)所示，将两个模型共划分为9个区域进行热边界设置。2A和2B区域对应着连轴弧齿锥模型与轴承内环相接触的表面，在这两个区域持续加载轴承干摩擦生热量。区域1为齿面啮合区，在该区域周期性加载摩擦生热量，加载时间tload为
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Fig. 3 Settings of thermal boundary conditions |
| ${t_{{\rm{cycle}}}} = \frac{{60}}{n} $ | (2) |
| ${t_{{\rm{load}}}} = \frac{{{t_{{\rm{cycle}}}}}}{Z} $ | (3) |
式中tcycle为齿轮转动的周期；Z为齿数；n为转速。
区域2(齿轮端面)、区域3(其他齿面)和区域4(齿轮工作齿面)设为第三类热边界条件，分别给定对应的对流换热系数和环境热空气温度(110℃)；区域5是连轴弧齿锥模型与环境热空气相接触的轴表面，根据不同转速给定相应的第三类边界条件；区域6对应单齿模型的齿底面并设为绝热边界条件；剩下未标注区域都默认为绝热壁面。
3 摩擦生热计算要对连轴弧齿锥齿轮进行瞬态热分析，首先就要确定热源。传动过程中生热部分主要包括轴承的生热和齿轮的生热，这一节将详细介绍这两部分的生热计算方法[16]及生热计算结果。
3.1 弧齿锥齿轮生热计算弧齿锥齿轮干摩擦生热的主要来源有三个部分：滑动摩擦、滚动摩擦和形变导致的内摩擦。由于相对于滑动摩擦，其余两种产生的热量相对较小，因此在本次计算中将忽略不计。弧齿锥齿轮摩擦生热的热流率表达式为
| ${Q_{{\rm{gear}}}} = f \cdot {F_{\rm{n}}} \cdot {V_{\rm{s}}} $ | (4) |
式中f为摩擦系数；Fn为齿面的法向载荷；Vs为齿面间的相对滑移速度。
对于弧齿锥齿轮生热计算有多种方式，本文采用当量直齿轮方法计算齿轮平均摩擦生热量，并将计算出的摩擦生热均匀的加载到接触区。
3.1.1 相对滑移速度分析图 4为当量直齿轮速度分析图，图中B1B2为实际啮合线，N1N2为理想啮合线，P为节点。则C在大齿轮牵引下的切向速度为
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Fig. 4 Analysis of velocity of the meshing point |
| ${V_{{\rm{t}}1}} = {V_1}{\rm{sin}}{\alpha _{\rm{c}}} = {\omega _{{\rm{spur}}1}}r{\rm{sin}}{\alpha _{\rm{c}}} = {\omega _{{\rm{spur}}1}} \cdot \left| {{N_1}C} \right| $ | (5) |
式中Vt1为主动轮啮合点处的切向速度；V1为主动轮啮合点处的速度；ωspur1, ωspur2为主从动轮当量直齿轮的角速度。
同理可以得到小齿轮牵引下的C点切向速度，则由此计算出相对滑移速度为
| $~{{V}_{\text{s}}}=\left| {{\omega }_{\text{spur}1}}\left( {{r}_{1}}\text{sin}\alpha -\left| CP \right| \right)-{{\omega }_{\text{spur}2}}\left( {{r}_{2}}\text{sin}\alpha +\left| CP \right| \right) \right| $ | (6) |
齿轮在B1B2上的滑移时间t1的表达式为
| ${t_1} = \frac{{{\alpha _{B2}} - {\alpha _c}}}{{{\omega _{{\rm{spur}}1}}}} $ | (7) |
式中αB2为∠N1O1B2。
假设在啮合区B1B2上的滑移距离与时间成线性关系，则任意一啮合点C所处的时间t与距离|CP|的相对关系为
| $t = \frac{{\left| {CP} \right| \cdot {t_1}}}{{\left| {{B_1}{B_2}} \right|}} $ | (8) |
联立上式即可得到相对滑移速度Vs与时间的关系式Vs(t)。由以上分析可知，在B1点和B2点滑移速度达到最大，在节点P处滑移速度为0。
3.1.2 齿轮法向载荷的确定由文献可知，当量直齿轮重合度e的范围是1 < e < 2，因此在齿轮啮合过程中同时存在单齿和双齿啮合的情况。在双齿啮合阶段由于载荷被两个齿同时分担，所以其齿面法向载荷将为单齿啮合阶段的一半。法向载荷为
| ${F_{\rm{n}}} = \frac{{2{M_{\rm{g}}}}}{{{d_{{\rm{m}}1}}{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta }} $ | (9) |
| ${F_{\rm{n}}} = \frac{{{M_{\rm{g}}}}}{{{d_{{\rm{m}}1}}{\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\beta }} $ | (10) |
式中Mg为输入扭矩；dm1为弧齿锥齿轮主动轮的分度圆直径；α为压力角；β为螺旋角。式(9)是单齿啮合阶段的法向载荷计算公式，式(10)是双齿啮合阶段的法向载荷计算公式。
3.1.3 齿轮摩擦系数的确定影响齿面摩擦系数的因素有齿面材料性能、热处理因素、齿面粗糙度、切向速度大小等，这里采用文献中对边界润滑齿面摩擦系数的研究结论，得到计算公式为
| $\begin{array}{l} f = 0.002{\left( {\frac{{{F_{\rm{t}}}}}{{B \times 0.001}}} \right)^{0.2}} \times \\ \;\;\;\;\;\;{\left[ {\frac{2}{{{\rm{cos}}\alpha \left( {{V_{{\rm{t}}1}} + {V_{{\rm{t}}2}}} \right){R_{{\rm{eH}}}} \times 0.001}}} \right]^{0.2}}{\eta ^{ - 0.05}}{X_{\rm{R}}} \end{array} $ | (11) |
式中Ft为齿面切向载荷：B为齿宽；η为润滑油的动力粘度；ReH为综合曲率半径；XR为齿面粗糙度因子。
3.2 轴承的摩擦生热计算在失去润滑的条件下，轴承摩擦功率损失的计算采用近似算法[17]
| ${M_{\rm{b}}} = {f_{\rm{b}}}dF/2 $ | (12) |
| ${Q_{\rm{b}}} = {M_{\rm{b}}}n{\rm{ \mathit{ π} }}/30 $ | (13) |
式中Qb为轴承摩擦功率损失；n为转速；Mb为摩擦力矩；f为摩擦系数；d为轴承内径，本文中圆锥滚子轴承(A)的内径d=85.7mm，圆柱滚子轴承(B)的内径d=60mm；F为轴承所受当量动载荷；圆锥滚子轴承fb=0.0028，圆柱滚子轴承fb=0.0022。
通过以上分析，计算得到了在输入扭矩Mg=1kN·m下齿轮和轴承的生热量，见表 2，分析表中数据可知，圆锥滚子轴承的内径和摩擦系数均大于圆柱滚子轴承的值，这将导致圆锥滚子轴承的摩擦生热大于圆柱滚子轴承的摩擦生热。
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表 2 Results of heat generation |
由于本文中主动轮和从动轮的材料相同，在对齿轮生热进行加载时，选取大小齿轮的热量分配比例为1:1。大量轴承生热将通过外环与环境的对流换热散失，因此仅将轴承生热的50%加载到内环与轴的接触表面(如图 3(b)所示的2A与2B区域)。
4 导热系数和对流换热系数的确定由传热学可知，弧齿锥齿轮啮合齿面的摩擦生热会通过热传导、热对流和热辐射向齿轮和周围热空气传递。本文忽略热辐射的影响，仅考虑齿轮的热传导和热对流。
4.1 导热系数的确定弧齿锥齿轮的导热系数与材料组成及齿轮温度密切相关。在干运转情况下，齿轮啮合面温度会大幅度升高，这将使得导热系数也随之发生改变。在本文中，弧齿锥齿轮和与其相连轴的材料为16Cr3NiWMoVNbE，其导热系数随温度变化情况和其它物性参数[17]如表 3所示。
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Table 3 Coefficient of thermal properties of gear and axle |
根据弧齿锥齿轮几何结构和工作特点，将模型划分为不同区域分别按照经验公式计算干运转情况下的对流换热系数[18]。计算结果如表 4所示。
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表 4 Results of convective heat transfer coefficient |
在计算弧齿锥齿轮端面换热系数时，将齿轮端面简化为旋转圆锥面，其计算公式为
| ${h_{\rm{s}}} = Nu{\lambda _{\rm{H}}}{\left( {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}n}}{{30{\upsilon _{\rm{H}}}{\rm{sin}}\alpha }}} \right)^{0.5}} $ | (14) |
式中υH为热空气运动粘度；λH为热空气导热系数；Nu为热空气的努塞尔数，其计算公式由齿面的流动情况决定，其计算公式为
| $Nu = 2{\left[ {\frac{{4.08P{r_{\rm{H}}}}}{{60}}} \right]^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 3$}}}} $ | (15) |
齿根、齿顶和非工作齿面的对流换热系数近似取0.4hs。
齿轮啮合齿面的对流换热计算公式为
| ${h_{\rm{H}}} = \frac{{0.228Re_{\rm{H}}^{0.731}Pr_{\rm{H}}^{0.333}{\lambda _{\rm{H}}}}}{L} $ | (16) |
式中ReH为热空气雷诺数；PrH为热空气普朗特数，其计算公式分别为
| $R{e_{\rm{H}}} = \frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}nLh}}{{60{\upsilon _{\rm{H}}}}} $ | (17) |
| $P{r_{\rm{H}}} = \frac{{{\rho _{\rm{H}}}{\upsilon _{\rm{H}}}{c_{\rm{H}}}}}{{{\lambda _{\rm{H}}}}} $ | (18) |
式中L为齿宽中点的分度圆直径；h为弧齿锥齿轮的工作齿高；ρH为热空气密度；cH为热空气比热容。
连轴弧齿锥模型中轴的对流换热系数采用旋转轴与热空气之间的对流换热系数计算
| ${h_{\rm{r}}} = 0.0863Re_{\rm{H}}^{0.618}Pr_{\rm{H}}^{0.35}{\lambda _{\rm{H}}}/{L_{\rm{j}}} $ | (19) |
式中Lj为传动轴直径。
5 瞬态热分析 5.1 连轴弧齿锥齿轮的瞬态热分析将连轴弧齿锥模型导入ANSYS Workbench，按照第2，3节所述对模型进行热边界加载。在转速为3kr/min和5kr/min两种工况下进行瞬态热分析，计算周期分别为1500和2500个周期，对应时间均为30s。
图 5是连轴弧齿锥模型在不同转速下30s后的瞬态温度场。由温度场可知，高温区域主要集中在齿面啮合区，而低温区域主要集中在齿轮端面和轴末端。这主要由于啮合区和轴承产生的热量还没有全部传导到低温区，且齿轮端面的对流换热系数相较于其他区域明显更高，将使得导入此区域的热量被迅速耗散。在轴承生热加载区域即前文所述的2A和2B区域(如图 3(b)所示)，将比轴的其他表面温度更高，这主要是由于轴承生热的加载将直接作用于该区域，之后通过热传导的方式将热量传导到其他区域。
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Fig. 5 Temperature field of tooth-axle model when t=30s |
图 6展示了0.1s内两种转速下啮合齿面闪温变化曲线。齿面啮合瞬间由于齿面相对滑动产生大量的摩擦生热，使得啮合表面温度快速升高，退出啮合之后由于齿内部的热传导以及齿表面的对流换热使得温度又迅速降低。由于相对于一个旋转周期，齿轮啮合的时间非常短，因此在一个旋转周期中温度出现迅速升高的时间也是极短的，于是将这一瞬间出现的温度升高现象称之为闪温。但转速的增大将使得齿面间的相对滑移速度上升进而导致齿轮啮合产生的摩擦生热升高，因此5kr/min工况下的瞬时闪温和最终温升都要明显高于3kr/min工况下的值。从图中可以看出5kr/min时啮合面瞬时闪温和最终温升为37℃和305℃，3kr/min时啮合面瞬时闪温和最高温升为30℃和185℃。
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Fig. 6 Difference of flash temperature between two rotational speeds |
从不同转速下啮合面30s的温升曲线图(图 7)可以看出：在计算的30s内，5kr/min时啮合面的温升速率要高于3kr/min时的温升速率。这是由于相同时间内，高转速下齿轮啮合的次数增多且每次啮合的摩擦损失功率更大，所以高转速下齿轮的温升速率将更高。而随着时间的增长，齿面和轴承产生的热量向内部传导使得结构的整体温度上升，因此从图中可以看出，两种转速下的温升曲线都将在干运转初始阶段迅速上升，之后温升速率逐步减缓。
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Fig. 7 Variation of surface highest temperature at different rotational speeds |
为了进一步得到齿轮齿面上的温度分布，在节圆半径处沿齿宽方向选取五个不同的位置(图 8)，得到两种工况下不同时刻的温度随位置的变化曲线(图 9)。同一时刻相同转速下，由于齿轮端面的热对流较强导致两端的温度值最低而中间点温度值最高，随着时间的推移齿轮内部的热量积累增多，进而导致整体温度的升高。
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Fig. 8 Position of numbered point |
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Fig. 9 Surface temperature along the tooth width at different rotational speeds |
同一时刻两种转速下，靠近齿轮端面位置(点1和点5)的温度值较为接近，而中间啮合区(点3)温度值的差异最大；且高转速下中间啮合点与两端点的温度差值相比于低转速下的差值更大，5kr/min时啮合点与两端点的温差为200℃，3kr/min时温差仅为110℃。表明高转速下较高的生热量以及端面较强的对流换热会引起沿齿宽方向更大的温度梯度。
5.2 两种模型的对比文献中对于弧齿锥齿轮的瞬态热分析基本采用单齿计算模型。为了对比两种模型的差异在3kr/min的转速下设置与连轴弧齿锥模型相同的齿面热源和齿面对流换热系数，之后对经典单齿模型进行瞬态热分析。
图 10和图 11是不同时刻单齿模型和连轴弧齿锥模型在3kr/min下的温度场云图。对比两种模型的温度场分布可以发现，两种模型的高温区域和低温区域所在的位置基本相同。由于单齿模型没有考虑热量向轴的传递，因此热量能够更快的传导到齿轮的各个位置。
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Fig. 10 Temperature field of two models when ω=3kr/min and t=10s |
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Fig. 11 Temperature field of two models when ω=3kr/min and t=30s |
0.1s内的闪温曲线图(图 12)中可以看出，由于在相同转速和载荷下，两模型施加的生热量和加载周期是相同的，因此单齿模型和连轴弧齿锥模型计算得到的闪温非常接近，分别为30.3℃和29.8℃。
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Fig. 12 Flash temperature calculated by two models |
如图 13所示的啮合齿面最高温度变化曲线。在最初的5s内，由于齿面摩擦生热尚未传导到齿轮边缘，此时热边界条件对温度场的影响较小，两种模型计算得到的温升曲线基本一致。之后由于单齿模型的底面为绝热边界，无法模拟齿面摩擦生热向轴的热传导，造成大量的热量积累，温度最终升高到367℃远高于连轴弧齿锥模型的296℃。
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Fig. 13 Highest temperature of the meshing surface calculated by two models |
图 14中单齿模型所取5个点的位置与上一小节连轴弧齿锥模型的位置相同。单齿模型计算得到的温度分布规律与连轴弧齿锥模型计算结果相一致，即在啮合点附近温度最高，而在端面附近温度较低。加载到啮合区的热量传导到底面的速度将比传导到端面更快，因此底面热边界的不同将首先影响到啮合区，这将导致同一时刻两种模型的齿面温度之差沿啮合点向端面点逐步降低。而随着时间的推移，热量逐步积累并向端面传导进而导致两种模型的温度差异逐渐增大。
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Fig. 14 Surface temperature along the tooth width calculated by two models |
由于连轴弧齿锥齿轮考虑了热量向轴的热传导，其物理过程更加接近于真实，因此在本小节中选用连轴弧齿锥齿轮模型的计算结果用于齿面最高温度的预测。
根据计算得到的转速为3kr/min和5kr/min时30s内齿面最高温度变化曲线(图 7)可以看出，齿面最高温度将在短时间内迅速上升之后逐渐趋于平缓，此规律符合对数曲线的变化规律，因此采用对数函数对其进行拟合，得到了3kr/min和5kr/min工况下最高温度的计算值和曲线拟合的对比图。如图 15所示，计算值和预测值的最大误差均小于6%，因此本文认为用对数函数对计算值进行拟合的结果是合理的。
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Fig. 15 Comparison between calculated value of the highest temperature and its fitting results |
运用对数曲线拟合给出了30min内两种工况下齿面最高温度的变化曲线(如图 16所示)。3kr/min和5kr/min工况下前150s齿面最高温度急剧升高。随后温度增长逐渐趋于平缓，30min后，转速为3kr/min和5kr/min时齿面最高温度分别稳定在490℃和640℃。
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Fig. 16 Predicted temperature for 30min |
本文建立了连轴弧齿锥模型，并对该模型进行了瞬态热分析，将连轴弧齿锥模型的计算结果与经典单齿模型进行了对比，得到了如下结论：
(1)在连轴弧齿锥模型的瞬态热分析中，3kr/min时30s内的最终温升和闪温都将小于在5kr/min时的值，且由于相同时间内啮合次数和每次啮合的摩擦损失功率不同将导致高转速下的温升速率明显更高。
(2)在连轴弧齿锥模型的瞬态热分析中，同一时刻相同转速下，啮合点处的温度最高而端面点处的温度最低；同一时刻两种转速在端面点处的温度差异相较于啮合点处的温度差异要小。
(3)连轴弧齿锥模型的温度分布规律与单齿模型的分布规律基本一致。因此，这两种模型都可以用来定性的分析齿轮的温度场分布。
(4)由于单齿模型并未考虑到齿轮热量向轴的传导，在热量尚未传导到齿轮边缘时单齿模型能够较好地预测齿面的温升情况。而随着时间的推移热量传导到齿轮边缘，此时单齿模型内部的热量积累将明显高于连轴弧齿锥模型，从而使得单齿模型的温升急剧增大，相比于30s内连轴弧齿锥模型的温升高71℃。
(5)由于齿面最高温度先迅速升高，之后逐步趋于平缓，这一规律符合对数曲线的变化规律。因此，本文用对数曲线对两种工况下的最高温度在30min运行时间内的温度变化进行了预测。结果表明，在30min时，3kr/min和5kr/min工况下的最高温度分别稳定在490℃和640℃。
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