2018, Vol. 39
针对航空薄壁结构在高温随机振动条件下寿命问题，对数值仿真分析方法的有效性及精度进行试验验证成为航空发动机结构强度完整性研究必不可少的环节。由于航空发动机热端部件的薄壁结构，在承受极高温的温度载荷的同时，还处于高声压级宽频噪声引起的随机振动环境中。当外部随机激励的频率与薄壁结构自身的固有频率相互耦合时，结构就会产生明显的应力、位移动态响应。由于外界随机激励的具有高峰值、宽频带的特点，结构固有频率即使随温度发生变化也会被外界激励的带宽所覆盖。因此薄壁结构长时间处于共振的环境中，复杂的交变应力会导致结构在应力集中位置或缺陷部位产生裂纹，结构因此发生失稳，寿命也随之降低。由于载荷的复杂性，高温环境下薄壁结构随机振动疲劳寿命问题难以解决。因此，为了对航空发动机的使用寿命进行预估，同时降低研究成本。迫切需要得出薄壁结构在高温随机振动环境中有效的响应及疲劳寿命分析方法。
目前，关于高温环境中薄壁结构随机振动应力、应变响应问题的数值分析方法主要包括：等效线性化法（EL）、Galerkin法、Von Karman大挠度理论和有限元法（FEM）。Lee使用EL法针对热屈曲板的应力、应变响应问题进行了计算[1~3]。Vaicaitis R使用Galerkin法结合Monte Carlo法研究了金属与复合材料结构在随机激励下的非线性响应问题[4, 5]。Schneider C W使用经过线性简化的Von Karman大挠度理论，计算了薄板屈曲后的动态响应[6]。Rizzi等使用有限元法结合FEM商业软件NASTRAN对随机声激励下简支板的动态响应进行计算[7]，张大义等使用有限元法针对整机动力学模型的振动特性进行了分析[8]。
国外关于薄壁结构高温随机疲劳的试验研究开展较早。关于振动台试验仿真工作开展的较为成功的主要有美国NASA与欧空局及比利时LMS公司[9, 10]Chung Fai Ng与Sherman A Clevenson在1991年针对铝板在高强度热与噪声随机激励作用下的振动进行了测试研究[11]。1996年美国NASA的圣地亚国家实验室研究了虚拟环境对振动试验的优化技术（VETO）[12]。
针对航空薄壁结构高温随机疲劳问题，国内刘世杰针等对爆震发动机起爆过程进行数值模拟[13]，沙云东等在薄壁结构响应特性的基础上，先后采用概率密度法和功率谱密度法对火焰筒薄壁结构高温随机疲劳寿命进行预估；使用改进的雨流计数法针对航空发动机高温声激励随机疲劳寿命问题进行了研究[14~17]。针对四边固支的矩形薄板在热声激励作用下的振动响应特性及随机疲劳寿命进行了计算[18]。
鉴于试验条件的严苛性，获取可靠的试验数据难度极大，目前国内关于高温随机振动的试验研究尚未开展。本文首次针对航空薄壁结构高温随机振动疲劳寿命问题开展了大量的试验研究，获取了可靠的试验数据。并且在王建工作的基础上，针对更为复杂的有限元计算模型在不同温度场和随机激励下结构动态响应特性进行了分析，采用改进的雨流计数法对结构的疲劳寿命进行预估。通过高温随机振动试验测得的响应结果和疲劳寿命结果与数值仿真结果进行对比，对仿真分析方法的有效性和精度进行了验证。研究内容为航空发动机薄壁结构疲劳寿命问题提供了有效的计算方法，对高超声速飞行器热端部件薄壁结构的强度设计及结构完整性设计有着重要意义。
2 理论方法 2.1 平板结构有限元控制方程通过对单元振动方程的推导与求和运算，得到整体振动控制方程为
| $ \left[ \mathit{\boldsymbol{M}} \right]\left\{ {\ddot W} \right\} + \left[ \mathit{\boldsymbol{K}} \right]\left\{ W \right\} = \left\{ F \right\} $ | (1) |
式中[M]，[K]，{W}和{F}分别为质量矩阵，刚度矩阵，整体位移和合外力。
进一步地可以将薄壁结构的随机振动形式写成
| $ \left[ \mathit{\boldsymbol{K}} \right]{\left\{ \mathit{\Phi } \right\}_n} = w_n^2\left[ \mathit{\boldsymbol{M}} \right]{\left\{ \mathit{\Phi } \right\}_n} $ | (2) |
式中Φn与wn分别表示薄壁结构的法向振型和基频，通过分析阻尼对结构响应特性的影响，得到在模态坐标下的控制方程，如式（3）所示
| $ {\ddot d_n} + 2{\zeta _n}{\omega _n}{\dot d_n}+{\omega _n}^2{d_n} = \frac{{{{\left\{ \phi \right\}}^{\rm{T}}}_n\left\{ F \right\}}}{{{M_n}}} $ | (3) |
在式（3）中，dn，Mn，ζn分别表示模态位移，模态质量与阻尼系数。通过模态坐标下的控制方程可以得到结构的响应函数是
| $ {\left( {{H_{\rm{s}}}} \right)_n} = \frac{1}{{{M_n}\left( {\omega _n^2 - {\omega ^2} + 2{\rm{i}}{\zeta _n}{\omega _n}\omega } \right)}} $ | (4) |
模态载荷向量包含声激励载荷和热载荷两部分，则控制方程变为
| $ \left[ {{\mathit{\boldsymbol{H}}_{\rm{s}}}} \right]\left\{ d \right\} = {\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} \right]^{\rm{T}}}\left\{ {{F_{\rm{p}}}} \right\} + {\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} \right]^{\rm{T}}}\left\{ {{F_{\rm{e}}}} \right\} $ | (5) |
式中[Φ]T{Fp}表示内部噪声形成的激励，是边界元转换到有限元的过程。图 1给出了边界元到有限元的传递过程。
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Fig. 1 Transfer process from boundary element to finite element |
根据方程（5），结构有限元控制方程为
| $ \left[ {{\mathit{\boldsymbol{H}}_{\rm{s}}}} \right]\left\{ d \right\} = {\left[ {\mathit{\boldsymbol{LT}}} \right]^{\rm{T}}}\left\{ {{F_{\rm{p}}}} \right\} + {\left[ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} \right]^{\rm{T}}}\left\{ {{F_{\rm{e}}}} \right\} $ | (6) |
Miner线性疲劳累积损伤理论指出：在循环载荷作用下，疲劳损伤是线性累加的，各个应力之间相互独立和互补相关，当累加的损伤达到某一数值时，结构发生疲劳破坏。Miner理论可以用式（7）表示
| $ D = \sum\limits_i {\frac{{{n_i}}}{{{N_{\rm{f}}}\left( {{\sigma _{{\rm{a}}i}}} \right)}}} $ | (7) |
式中σai为第i个应力幅值，Nf为相应的疲劳寿命，ni为该幅值应力循环的次数。
当使用应力循环均值和幅值表示时，式（7）可写为
| $ E\left[ \mathit{\boldsymbol{D}} \right] = E\left[ \mathit{\boldsymbol{P}} \right]T\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{p\left( {{\sigma _{\rm{a}}}, {\sigma _{\rm{m}}}} \right)}}{{{N_{\rm{f}}}\left( {{\sigma _{\rm{a}}}, {\sigma _{\rm{m}}}} \right)}}{\rm{d}}{\sigma _{\rm{a}}}{\rm{d}}} {\sigma _{\rm{m}}}} $ | (8) |
方程中Nf是(σa, σm)的函数，决定于所选择的平均应力模型。
平均应力模型（Morrow）
| $ {S_{{\rm{ar}}}} = \frac{{{S_{\rm{a}}}}}{{1 - {S_{\rm{m}}}/\sigma {'_{\rm{f}}}}} $ | (9) |
式中Sa为循环应力幅值，Sm为循环应力均值。
Morrow平均应力模型下疲劳寿命
| $ \begin{array}{l} {N_{{\rm{f - Morrow}}}} = {\left( {{S_{{\rm{ar}}}}/\left( {{2^b}\sigma {'_{\rm{f}}}} \right)} \right)^{\frac{1}{b}}} = \\ {\left[ {\left( {{S_{\rm{a}}}/\left( {1 - {S_{\rm{m}}}/\sigma {'_{\rm{f}}}} \right)} \right)/\left( {{2^b}\sigma {'_{\rm{f}}}} \right)} \right]^{1/b}} \end{array} $ | (10) |
使用雨流循环计数法时，方程中的p(σa, σm)可以由雨流循环矩阵来估算
| $ \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {p\left( {{\sigma _{\rm{a}}}, {\sigma _{\rm{m}}}} \right){\rm{d}}{\sigma _{\rm{a}}}{\rm{d}}{\sigma _{\rm{m}}} = \frac{1}{{{N_{{\rm{RF}}}}}}\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\mathit{\boldsymbol{RFM}}} } } } \left( {{\sigma _{\rm{a}}}, {\sigma _{\rm{m}}}} \right) $ | (11) |
式中NRF为雨流循环次数，RFM为雨流循环矩阵如图 2所示。对雨流循环矩阵的分析如图 3所示，图中循环对与R=1对角线距离越远，循环的幅值越大；循环对与R=-1对角线的距离越远，循环的平均应力越大。
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Fig. 2 Rain flow cycle matrix |
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Fig. 3 Schematic diagram of rain flow cycle matrix |
对于有限时长的响应信号Tr，峰值期望E[P]≈NRF/Tr，因此损伤期望可以写为
| $ \begin{array}{l} E[ \mathit{\boldsymbol{D}} ] = \frac{T}{{{T_{\rm{r}}}}}\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{\mathit{\boldsymbol{RFM}}\left( {{\sigma _{\min }}, {\sigma _{\max }}} \right)}}{{{N_{\rm{f}}}\left( {{\sigma _{\min }}, {\sigma _{\max }}} \right)}}} } = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{T}{{{T_{\rm{r}}}}}\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\mathit{\boldsymbol{RFD}}\left( {{\sigma _{\min }}, {\sigma _{\max }}} \right)} } \end{array} $ | (12) |
式中RFD(σmin, σmax)为雨流循环损伤矩阵。
当损伤期望E[D]=1时，可以求得结构的中值疲劳寿命
| $ T = {T_{\rm{r}}}/\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\sum\limits_{ - \infty }^\infty {\mathit{\boldsymbol{RFD}}\left( {{\sigma _{\min }}, {\sigma _{\max }}} \right)} } $ | (13) |
仿真计算采用相对复杂的“勾股件”结构为研究对象。由于结构在中间部分尺寸减小，容易产生应力集中，对发动机热端部件的疲劳破坏问题具有借鉴意义。结构尺寸如图 4所示，板厚1.5mm，边界条件为：结构根部采用固支约束，对薄壁结构垂直方向施加随机激励载荷。
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Fig. 4 Geometry model (mm) |
根据试验加载的情况，数值仿真随机振动量级取在2.0~4.0g时以功率谱密度的形式加载（本文图中提及的振动量级均用VM表示），不同振动量级所对应的应力功率谱密度如表 1所示，温度场在25~600℃进行稳态加载，研究不同振动量级和温度组合下薄壁结构的振动响应及疲劳寿命。分析高温随机振动载荷对薄壁结构响应和寿命的影响规律。
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Table 1 Power spectral density of vibration magnitude |
薄壁结构材料选取高温合金GH188，熔点1318℃。文中仿真计算结果均保持在线弹性范围内，且定义参考温度为0℃。具体材料物理参数见表 2。
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Table 2 Material parameters of GH188 in different temperature |
由于薄壁构件在高温振动环境中承受各方向复杂的切应力及剪应力，为了找到对薄壁结构疲劳寿命影响最大的因素，数值仿真分别对450℃时2.0，2.8，4.0随机振动量级下X，Y，Z方向的切应力以及2.0~4.0g量级下XY，XZ与YZ方向的剪应力大小进行计算。
通过图 5可以看出，薄壁结构在450℃各个量级的随机激励下危险点位置处切应力，X方向最大。分别为1.957×1015，3.8367×1015和7.8306×1015Pa2/Hz。Y方向和Z方向的应力相比X方向要小1~2个量级。这与试验测得的结果一致，而XY，XZ，YZ三个方向上的剪应力如图 6所示，量级分别在108，1011，107左右，相对于切应力来说可以忽略不计，故薄壁结构的轴向动应力将是疲劳寿命问题关注重点。
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Fig. 5 Thin-walled structure tangential stress PSD in each direction in different vibration magnitude |
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Fig. 6 Thin-walled structure shear stress PSD in each direction in different vibration magnitude |
当薄壁结构处于25~600℃的2.0g量级的随机激励环境中，危险点位置X方向应力响应在基频位置处最大，而且由于结构受热产生软化，在一阶屈曲温度前，基频随着温度的升高成下降趋势如表 3所示，响应峰值随之逐渐向左移动。同时在其他各阶固有频率处同样激起较大的峰值，如图 7所示。
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Table 3 The first and second order thermal modal frequencies of thin-walled structure in different temperatures/Hz |
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Fig. 7 X- stress PSD of the dangerous position in different temperatures |
从图 7（a）可以看出，危险点位置处25℃时X方向应力在一阶固有频率处响应的功率谱密度峰值从1.8529×1015Pa2/Hz逐渐增加到7.4141×1015Pa2/Hz。在二阶固有频率处响应的功率谱密度从8.2719×1012Pa2/Hz增加到1.1912×1013Pa2/Hz。相对于基频处的响应差2~3个量级。通过观察图 7（b）中3.2g振动量级下结构危险点位置X方向应力功率谱密度曲线，得出与图 7（a）相同的规律，证明在不同量级的振动激励下薄壁结构响应规律的适用性。
3.2 不同温度下薄壁结构应力响应特性分析针对薄壁结构在25℃，450℃和600℃时危险点位置X方向应力功率谱进行仿真分析，响应曲线如图 8所示。观察图 8（a），（b），（c），不难发现3幅图中的响应曲线具有相同的变化律。
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Fig. 8 X- stress PSD of the dangerous position in different vibration magnitude(25℃, 450℃, 600℃) |
以图 8（a）为例，25℃时在结构基频处响应峰值由2.0g量级时的1.8529×1015Pa2/Hz增加至4.0g量级时的7.4141×1015Pa2/Hz，增大了4倍。对应的第二阶固有频率处的响应峰值分别为8.2719×1012Pa2/Hz和3.3098×1013Pa2/Hz，相对于基频处的响应值减少2~3个量级。由于相同温度下结构热模态频率相同，故响应峰值并不发生偏移现象。
3.3 不同振动量级下薄壁结构疲劳寿命规律基于改进的雨流计数法，结合Miner线性疲劳累积损伤理论，绘制出高温随机振动载荷下薄壁结构应力雨流循环矩阵和对应的雨流损伤矩阵，通过雨流循环块的分布情况及结构的疲劳损伤程度，对薄壁结构高温随机疲劳寿命问题进行研究。
首先，采用改进的雨流计数法对上述应力结果进行统计。同时，绘制出如图 9（a），（c），（e）所示的应力响应的雨流循环矩阵和图 9（b），（d），（f）中对应的雨流损伤矩阵。由于各个温度下薄壁结构应力响应规律相同，这里以450℃时振动量级2.0g，2.8g，4.0g为例，对薄壁结构在不同振动量级下所对应的雨流循环块分布情况和循环快对结构的损伤程度进行讨论。
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Fig. 9 Rain flow cycle matrix and rain flow damage matrix change with the increase of vibration magnitude |
由于循环对中极小值必然小于极大值，所以雨流循环块只分布在图中的左上区域。通过观察图 9（a），（c），（e）所示的雨流循环矩阵不难发现，循环块主要集中在主对角线（R=-1）和次对角线（R=+1）处。随着振动量级的提高，次对角线的循环块沿着R=+1向两端延伸，循环的平均应力增大，主对角线上的循环块向左上角移动，循环幅值增大。右侧与之对应的图 9（b），（d），（f）中的雨流损伤矩阵表明，结构损伤度由10-6增加到10-4，结构损伤加剧。
图 10中的柱状图给出25℃，150℃，300℃，450℃和600℃时，对应的不同振动量级下结构的疲劳寿命。可以看出，在每个温度载荷下结构的疲劳寿命都具有相同的规律：结构在屈曲前处于软化区域，随着振动量级的提高薄壁结构随机疲劳寿命线性下降，并且下降的幅度逐渐减小。在3.2g振动量级下，各个温度环境中结构疲劳寿命都将在104量级的时间内发生破坏。
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Fig. 10 Thin-walled structure fatigue life changes with vibration magnitude in different temperature |
类比不同振动量级下薄壁结构的疲劳寿命规律分析方法，研究随机振动量级为2.8g，不同温度作用下的雨流循环矩阵，如图 11（a），（c），（e）所示。发现应力循环块同样集中在主对角线和次对角线附近，呈短柱状分布。随着温度的升高，循环块分别沿着R=-1和R=+1进行移动，表明循环的平均应力和幅值均增大。右侧与之对应的图 11（b），（d），（f）中的雨流损伤矩阵表明，结构损伤度由10-5增加到10-4，结构损伤加剧。
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Fig. 11 Rain flow cycle matrix and rain flow damage matrix change with the increase of temperature |
观察图 12中，各温度场下薄壁结构的疲劳寿命随振动量级的变化曲线可以看出，结构的疲劳寿命随外界随机振动量级的升高而下降，通过曲线的斜率可以判断出，结构疲劳寿命下降速度越趋平缓。在4.0g量级下结构趋于失效。
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Fig. 12 Thin-walled structure fatigue life changes with temperature in different vibration magnitude |
为了验证仿真结果的准确性，研究该型板材构件在热载荷与振动载荷联合作用下的响应及寿命规律。针对GH188材料薄壁结构进行高温随机疲劳试验。试验整体布局如图 13所示。
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Fig. 13 Overall layout of the test |
该试验在振动台上进行，通过石英灯管采用双面非对称加热方式，使用高温控制柜对温度进行闭环控制，图 14是典型的温度控制测量曲线，通过在试验件表面几何中心位置焊接热电偶，实现对试验件温度的监测。控制试验件表面温度为450℃，在试验加热过程中，试验件表面温度逐渐增加。可以看出当试验件温度到达450℃后，实测温度与设定温度高度吻合，温度控制误差小于1%，这表明在高温随机疲劳试验过程中温度控制的精确性和有效性。
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Fig. 14 Typical temperature control curve of high temperature random vibration fatigue test |
采用目视法确定薄壁结构的疲劳寿命。当试验件表面萌生宏观裂纹，其一阶共振频率开始显著下降，当其降低到窄带下限频率以下时，试验件振幅会明显缩小，通过这种现象来判断试验件是否破坏。当发现试验件振幅显著减小时即为试验件破坏时刻，从开始试验到试验件破坏时刻经历的试验时间即为试验件寿命。
通过对图 15中数值仿真结构的应力分布云图进行分析，可以发现应力分布云图中，结构在根部和颈部的应力较大。对比图 16薄壁结构高温随机疲劳试验后的结果，可以看出结构同样在应力较大的根部发生断裂。这是由于结构在振动过程中可以简化成简支梁，在温度载荷和随机振动载荷作用下，结构在约束位置和形状突变位置出现应力集中现象，从而对结构产生破坏。
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Fig. 15 Test pieces?stress distribution nephogram of mathematical simulation |
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Fig. 16 Result of thin-walled structure destruction after high temperature random vibration test |
将薄壁结构在高温环境（450℃）中2.4g和3.2g振动量级下轴向动应力、疲劳寿命和应力响应峰值频率数值仿真结果和试验结果进行了对比，如表 4所示。
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Table 4 Result of random vibration test and simulation |
由于高温随机疲劳试验本身具有较强的随机性，随机振动载荷施加角度可能发生微小偏差，夹具经过长时间振动可能产生微小松动，而且理论结果是在理想条件下推导出来的具有一定的局限性，不同的有限元软件之间的计算结果也有一定的差别。以上原因都会造成试验和仿真之间的误差。
从表 4可以看出，结构在450℃，2.4g随机振动量级下轴向动应力数值仿真结果为182.03MPa，相比试验结果的174.37MPa误差为4.2%。3.2g振动量级下轴向动应力误差为0.48%，误差极小。2.4g振动量级下结构的疲劳寿命试验结果为54941s，数值仿真结果为15936s，相差三倍左右，3.2g振动量级仿真结果相比试验数据小2.8倍。仿真结果偏保守，行业内部认为在一个量级内的仿真结果具有有效性。文中疲劳寿命的研究为今后获得修正系数和经验公式奠定了良好的基础。观察薄壁结构在两种工况下的响应峰值频率可以发现，误差分别被为1%和3%。通过以上对比验证了薄壁结构高温随机振动疲劳分析方法的有效性和精度。
5 结论本文运用数值仿真和试验验证的方法，研究了高温薄壁结构随机振动响应和寿命规律，主要结论如下：
（1）研究表明，高温合金薄壁结构X方向应力响应最大。在相同量级的随机振动载荷作用下，结构的响应随着温度的升高而上升，同时峰值向左偏移；在相同温度下，应力响应随着振动量级的升高而增大。结构在一阶固有频率处的响应最大，相比二阶固有频率高出2~3个量级。
（2）针对薄壁结构高温随机振动疲劳寿命问题，采用改进的雨流计数法结合疲劳累积损伤理论进行计算。从结构的雨流循环矩阵和雨流损伤矩阵可以看出，温度的升高和随机振动量级的增大都会对结构造成破坏，缩短结构的疲劳寿命。
（3）开展高温随机振动疲劳试验，结果表明:破坏位置在结构根部，仿真对结构破坏位置计算准确，响应峰值频率误差在1%~3%，轴向动应力吻合极好，疲劳破坏时间相差一个量级内。验证了薄壁结构高温随机振动疲劳分析方法的有效性和精度。
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