1 引言

随着航空发动机对推重比要求的不断提高，涡轮负荷随之不断增大，使得涡轮出口的超跨声流动现象越来越常见，且通常伴随着复杂的激波结构，激波与尾迹及边界层的相互作用会导致更大的能量损失。Denton等^[1]对超声速涡轮尾缘流场激波结构作了详细的描述，指出在叶片尾缘存在膨胀波、尾缘激波、基底区、分离剪切层以及下游气流汇合区。对于高负荷涡轮，出口马赫数接近1时，叶栅尾迹损失相对边界层损失占主导作用；尤其是当激波影响区域较大，和尾迹发生干扰时，损失则更大。因此，降低涡轮动叶出口激波强度不仅可以降低激波损失，同时也可以降低激波与尾迹及边界层的干扰损失，提高涡轮气动性能。

自20世纪70年代，美国NASA/GE联合推出了高负荷涡轮计划(Highly-Loaded Turbine Research Program，HLTRP)，旨在提高涡轮单级负荷及整级膨胀比。该计划采用“弱化激波造型”技术(Reduced Shock Blading)来削弱涡轮出口激波^[2]。在设计过程中，主要关注与下游激波强度密切相关的几个参数，包括安装角、落后角、尾缘楔角以及尾缘折转角，并采用缩放通道，平直后部薄尾缘设计，通过平衡气动、气冷及材料的要求得到最终结果。从本质上讲，这种从初始叶型出发，基于设计经验或计算机技术的弱化激波造型设计可归为正问题设计方法。相对于正问题设计，反方法可以通过修改叶型表面的速度或压力分布，达到削弱激波的目的，并获得某一工况下设计性能最佳的初始叶型。

国外针对高负荷涡轮已经开展了反方法弱化激波研究，如Vito等^[3]基于N-S方程与欧拉方程求解器，发展了一套有粘与无粘迭代反设计方法。在反设计计算过程中，应用可渗透边界条件来施加压力分布，采用蒸腾模型得到反设计叶型，并通过迭代来更新反设计叶型，最终得到的叶型表面粘性压力分布达到目标压力分布。他们应用此方法对LS89高负荷涡轮导向器叶片进行了反设计，通过光顺吸力面压力分布，反设计叶型尾缘内尾波打在相邻叶片吸力面后反射出的激波强度明显降低，内尾波强度被削弱。这一研究表明，采用反方法进行高负荷涡轮激波控制是可行的。

目前国内对于高负荷涡轮中的激波控制多采用优化方法，余佳等^[4]采用伴随优化方法对俄罗斯两个典型超/跨声涡轮叶栅进行了弱化激波设计，以进出口熵增最小为优化目标，并施加质量流量和出口气流角约束，选取了三个无量纲背压工况点进行寻优，优化过程中保证周向厚度不变，最终得到六个叶型。通过对比得出，针对低背压下的寻优设计能够获得全工况具有最佳性能的叶片。设计结果显示，叶型吸力面尾缘激波得以削弱，压力面激波不再明显。这一研究表明采用优化方法弱化激波是可行的。但激波弱化造型优化以叶型几何参数为设计变量，并需要基于初始叶型进行参数化。目前，国内还很少有真正实现既能局部调整叶型、又能对叶型做全局调整且保证叶型曲率连续的参数化方法。这可能是文献[4]中未获得“弱化激波”造型规律的原因。

国内应用反方法进行激波控制的研究也主要集中在压气机领域，杨金广等^[5]发展了一套基于渗透边界条件的三维粘性反设计方法，使用载荷参数化方法，可在总载荷不变的基础上，得到满足设计意图的载荷分布。作者将该方法成功应用在NASA Rotor 67的改型设计中，并取得了较好的激波控制效果。刘昭威等^[6]为了降低跨声速压气机叶栅通道中的激波损失，发展了二维叶栅反问题设计方法，用两段抛物线来拟合叶片载荷分布，通过调整最大载荷位置，降低叶栅通道中的激波强度。而应用反方法进行高负荷涡轮激波控制上的研究，国内尚无公开文献发表。随着涡轮向单级、高负荷、跨声速方向发展，有必要开展反方法弱化涡轮叶栅激波的研究。因此，本文将采用S1流面求解器MISES，应用其Mixed模式反方法，通过修改叶型表面压力分布对某一高负荷涡轮动叶进行反设计，以达到削弱激波强度和降低损失的目的。

2 涡轮叶栅S1流面求解精度验证

本文以E3两级高压涡轮^[7]为研究对象，针对第二级转子中间叶高截面叶型进行反设计。该涡轮设计转速N_d=8283r/min，子午视图如图 1所示。根据文献[7]中的叶型几何参数，可知第二级动叶中间叶高处的Zwifel系数约为1.09，表明此叶片具有高负荷特性。Zwifel系数定义^[8]如式(1)所示，其中P和C_ax分别为叶片节距和轴向弦长，β₁和β₂分别为叶片进出口相对气流角。

$ {C_{\text{L}}} = 2P{\cos ^2}\left( {{\beta _1}-{\beta _2}} \right)/{C_{{\text{ax}}}} $

(1)

S1流面叶型定义在m′-θ坐标系下，其中m′为无量纲子午流线方向，θ为周向角度位置。定义叶型前缘点m′=0，m′-θ坐标通过下式求得

$ {m'_i} = {m'_{i-1}} + \frac{2}{{{r_i}-{r_{i-1}}}}\sqrt {{{\left( {{r_i} - {r_{i - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {{z_i} - {z_{i - 1}}} \right)}^2}} $

(2)

$ {\theta _i} = \arctan \left( {\frac{{{y_i}}}{{{x_i}}}} \right) $

(3)

式中z为轴向坐标，r为半径，目标截面叶型三维坐标转换到m′-θ坐标系下的叶型如图 2所示。

流面的定义包括无量纲半径R以及无量纲流片厚度b。其中无量纲半径R=r/L_ref，L_ref为参考长度，本文取L_ref=100mm。S1流面流片厚度分布决定了叶型所处流道的扩张程度，可用轴向速度密度比AVDR来表征这一扩张度，其定义如下

$ AVDR = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{\rho _2} \cdot V{m_2} \cdot 2\pi {r_2}}}{{{\rho _1} \cdot V{m_1} \cdot 2\pi {r_1}}} $

(4)

由于叶型入口与出口半径相同，因此只需要在三维计算结果中提取子午速度及密度即可求得，本文算例中AVDR=0.963。令叶型前缘点流片厚度为1，出口流片厚度为1/AVDR，给定入口到出口线性变化，来流及尾流恒定的流片厚度分布，如图 3所示。

S1流面求解中，网格类型采用入口周期性H型网格，出口偏移性I型网格，入口给定相对气流角，出口给定背压。为了提高S1流面求解精度，边界条件可从三维计算结果中提取。因此，基于NUMECA软件对涡轮整级三维流场进行了数值模拟。计算域网格采用O4H，网格节点数在170万左右，湍流模型选用一方程S-A模型，工质为空气(理想气体)。边界条件设置时，入口给定总温709K，总压344740Pa和轴向进气角，出口给定静压52000Pa。

选择静压系数C_p进行结果对比，定义如下

$ {C_p} = \frac{{p-{p_1}}}{{\frac{1}{2}{\rho _1}W_1^2}} $

(5)

式中p为叶型表面静压，p₁为入口静压，ρ₁为入口气流密度，W₁为入口气流相对速度。基于S1流面求解和三维求解获得的中间叶高处的静压系数以及S1流面马赫云图对比分别如图 4和图 5所示。

结合图 4、图 5可以看出，两方法获得的计算结果吻合较好，二者对于叶型表面激波出现的位置及影响范围的预测都较为接近，这不仅验证了S1流面求解器的计算精度，也为下文基于S1流面的涡轮动叶叶型反设计奠定了基础。

3 涡轮动叶有粘反设计 3.1 叶型反设计方法及返回试验

从图 5可看出，涡轮出口动叶吸力面存在较强的激波，且与叶片尾缘的尾迹发生干扰。结合图 4中叶型表面压力分布可知，局部激波开始出现于吸力面55%弧长位置处，且在65%~78%弧长位置处存在压力台阶，形成大范围的波前高马赫数区，不利于气流的压力恢复过程。压力台阶的存在使得78%弧长位置之后压力陡增，出现一道强激波，并布满整个通道，与尾迹发生干扰。因此，在压力分布修改时需要抹去压力台阶，降低压力变化梯度，以削弱激波强度。但这会导致叶型尾部载荷降低，为使载荷变化不至于太大，主要在20%~50%弧长处调节了压力系数，使得叶型表面相对马赫数能够较快上升至峰值马赫数。需要指出的是，本文主要采用手工修改方式对压力进行修改，并保证压力曲线曲率光滑连续，修改后压力分布如图 6所示。

基于图 6所示的压力分布，使用Mixed模式反方法进行有粘反设计，该方法的基本模型^[9]如图 7所示。

其思想是将叶型分割进行局部反设计，分割区域约束压力边界条件，其余区域施加固壁边界条件，在分割点处约束节点位移为0。使用的压力边界是基于目标压力分布调整而得到的，F为任意的形状函数，这里选用的是正弦曲线；A为压力约束自由参数，属于未知量，与约束Δn=0一起构成封闭条件，从而形成一个适定的反问题。求解器基于自由参数与形状函数对给定目标压力分布进行自动调整，以确保获得的叶型可加工。

本文对吸力面20%~100%弧长进行分割，其余区域叶型几何保持不变。需要注意的是，由于施加的压力分布会同时作用在边界层上，若直接在有粘模式下求解叶型，一旦叶型存在较厚的边界层或边界层分离，反设计通常无法收敛，或得到的叶型出现畸变^[10]。为了提高计算的鲁棒性，避免叶型发生畸变，采用了MISES提供的临时“冻结”边界层的方法。该方法的实质是在无粘模式下求解叶型位移，得到新的叶型后“解冻”边界层进行有粘计算，更新边界层位移厚度，得到有粘流场。给定目标压力分布后，由于原始叶型边界层位移厚度的影响，反设计计算无法通过一次求解得到目标压力分布对应的叶型，导致求解得到叶型的压力分布与目标压力分布之间存在差异，因此需要通过迭代来不断降低这一差异，直到压力分布不再发生变化，叶型收敛。本文将这一方法集成到了反设计过程中，反设计流程如图 8所示。

图 9给出了迭代过程中，各项损失和静压比(p₂/p₁)变化曲线。其中，ω，ω_v，ω_i分别为叶型总损失系数、叶型粘性损失系数及叶型无粘损失系数。

从图中可以看出，各项损失都随着迭代次数不断降低，迭代在进行11次后即收敛。迭代收敛后，叶型总损失降低了20.7%，粘性损失降低了19.2%，无粘损失降低了24.3%。静压比略有增大，但是仅改变了0.3%，基本可以忽略。静压系数分布及叶型随迭代次数变化如图 10所示。

从图 10可以看出，粘性压力分布与目标压力分布(C_p_target)之间的差异随着迭代的进行不断降低，最终近似达到给定的压力分布，且不再发生变化，叶型收敛。将最终收敛后的叶型(Redesign)施加原始叶型的粘性压力分布，进行返回试验，收敛后得到的压力分布及叶型(Return)与原始结果(Original)对比如图 11所示。

从图 11中可看出，反设计叶型施加原始叶型的粘性压力分布之后可以完全返回到原始叶型，而且压力分布也能完全达到原始的压力分布。因此，虽然反设计叶型(Redesign)的粘性压力分布与给定的目标压力分布(C_p_target)稍有差异，但是得到的叶型是可用的，且可以完全返回到初始状态。

3.2 反设计叶型结果分析及准三维工况分析

针对原始叶型和上节所得反设计叶型，采用第2节所述的S1流面求解器进行求解，反设计前后，叶型S1流面马赫数云图见图 12。

从图 12可以看出，反设计叶型(Redesign)在吸力面出口处的激波基本消失，激波强度明显降低，基于图 6中的目标压力分布开展的的反设计起到了削弱激波的目的。反设计前后叶型吸力面边界层位移厚度δ*及动量损失厚度θ分布对比如图 13所示。

与原始叶型相比，吸力面尾部边界层位移厚度降低，在尾迹区边界层位移厚度及动量损失厚度降幅明显。说明在反设计前，吸力面尾部的激波对尾迹的确存在干扰，当激波被削弱后，激波损失和尾迹损失大幅度降低。

以上反设计是针对一个工况点下进行的，且通过分析可以看出反设计起到了优化效果。但反设计叶型的变工况性能是否得到了提升，还需要对其进行准三维变工况性分析。在保证入口气流角相同的条件下，给定不同背压p_out，计算得到的入口相对马赫数及叶型总损失变化如图 14所示。

从图 14可以看出，反设计叶型在整个工况范围内叶型总损失ω都得以降低，入口相对马赫数Ma₁得以提升，说明在相同背压下，流过叶型的流量增大，叶片的降压增速能力增强，从而说明反设计叶型的准三维变工况性能得到提升。

4 反设计涡轮三维求解及结果分析

基于反设计叶型对涡轮整级流场进行三维求解，以进一步验证反设计叶型弱化激波的效果。计算域网格划分及边界条件设置与第2节一致，并给定设计转速下不同背压出口条件，以进行涡轮级工况分析。得到的涡轮等熵效率及流量随背压变化如图 15所示。

从图 15可以看出，反设计涡轮在低背压工况下效率明显提高，提高了约0.55%，高背压下效率略微有所降低，但整体上依旧运行在较高效率下，从而使得涡轮高效运行区增大。与原始涡轮对比，反设计涡轮最大流量改变率仅约0.04%，可以认为流量随背压变化规律基本不变。对反设计前后叶型喉道面积及喉道宽度及位置进行求解，对比如图 16所示。

由于反设计叶型相对原始叶型尾部变薄，导致通道喉道位置向前移动，而压力面尾部又较为平直，从而使得喉道宽度变化不至太大。通过计算得到S1流面下反设计叶型相对原始叶型喉道宽度增大了约1.8%，对应到三维空间坐标系下，原始涡轮通道喉道宽度为15.38mm，反设计涡轮为15.657mm。另外，从图 15可以看出涡轮在不同背压下流量变化波动范围在0.16%以内，涡轮运行于堵塞工况附近，背压的变化对流量基本无影响，喉道位置及叶型变薄对涡轮性能的影响才是主要的。

设计背压52kPa下，涡轮中间叶高相对马赫云图对比如图 17所示，另外，图 18给出相对马赫数在0~0.5范围内，叶片尾部局部放大相对马赫数云图。

从图 17可以看出，反设计涡轮末级动叶出口激波明显削弱，与尾迹的干扰明显降低。这说明喉道位置的前移使得喉道后流通面积的扩张不至于太快，气流的过膨胀程度得以降低，峰值马赫数下降，吸力面正激波强度降低，激波影响范围大大缩小。这一结论与图 12中准三维计算结果一致。此外，从图 18中可以看出，反设计涡轮的尾迹低速区明显减小，且尾缘吸力面边界层厚度降低，从而说明尾迹损失也得到了降低。但是从数值上来看，反设计前后涡轮在设计背压下效率没有改变。其原因可能是受到三维效应的影响，S1流面上性能的改进在三维计算中有所抵消。这里给出涡轮反设计前后第二级转子中间叶高截面三维计算压力分布与S1流面反设计时给定的目标压力分布对比图，如图 19所示。

在第3节中，图 10显示S1流面上反设计后的叶型表面压力分布与目标压力分布基本吻合，而从图 19来看，受三维效应的影响，三维计算结果显示反设计涡轮中间叶高截面的压力分布与S1流面上给定的目标压力分布还存在着一定的差异，压力台阶没有完全消失，但是分布趋势较为吻合，出口附近压力变化梯度降低，激波强度降低。因此，尽管单一截面的反设计在三维效应的影响下使得涡轮在设计工况下运行效率没有发生明显提升，但是流场的变化达到了预期的目的，实现了激波控制。而且，设计背压下流场的改善使得涡轮在低背压下性能得以明显提升。这里对背压20kPa下涡轮性能进行分析，给出了中间叶高相对马赫云图以及S2流面绝对马赫数云图，分别如图 20，21所示。

从图 20中可以看出，低背压下涡轮出口存在燕尾波，对比原始涡轮，反设计涡轮末级动叶吸力面上的燕尾波分支激波强度得以明显削弱，峰值马赫数由2.22降低至2.09；压力面上的燕尾波分支几乎消失，波系强度得到削弱。从图 21可看出，随着S1流面上激波强度的削弱，S2流面上涡轮出口整个叶高方向上激波强度大幅度降低，从而使得出口气流流动状况得以改善，涡轮运行效率得以提升。

为了考察涡轮的变工况性能是否得到提升，分别计算了90%，110%及120%设计转速不同背压下的性能参数曲线，所得效率、扭矩和轴向推力结果如图 22所示。

从图 22可以看出，反设计涡轮的变工况性能较原始涡轮得以改善，同前述规律相似，高背压下效率略有降低，且随着转速的增大，这一降低幅度基本可以忽略。而各个转速条件下低背压区间效率均得到了约0.5%的提高，从而使得变工况运行时高效运行区得以拓宽。扭矩的变化不明显，在低背压下有所提升，高背压下基本不变。轴向推力随压比的变化整体上得以降低，从而说明反设计涡轮较原始涡轮性能上整体得以提升。

5 结论

本文基于反方法对高负荷E3涡轮进行反设计，通过修改末级动叶中间叶高S1流面压力分布得到新的叶型，并进行了准三维与全三维工况分析，得到结论如下：

(1) 针对设计背压进行的S1流面单点反设计显示损失降低，激波强度降低。但是在进行三维计算时，效率提升并不明显，其原因可能是在三维效应的影响下，叶型表面压力分布与S1流面上给定的目标压力分布还存在一定的差异。但是流场的变化达到了预期的目的，实现了较好的激波控制，采用反方法作为弱化激波的初始设计是可行的。

(2) 由于背压越低，涡轮出口激波强度越强，设计工况下的反设计对涡轮低背压工况下运行效率的改善效果更为突出。低背压下等熵效率提高了约0.55%，高背压下效率略有降低，但整体上涡轮高效运行区拓宽，变工况性能改善。因此，基于本文反方法对叶型表面压力分布的修改，能够快速有效地实现高负荷涡轮动叶的激波控制。