1 引言

随着航空发动机的功率越来越大，涡轮前温度也越来越高，涡轮转子在高温高转速以及高持久工作时间下的蠕变损伤也逐渐变成了航空发动机性能的重要考核指标^{[1, 2]}。材料蠕变损伤会降低结构的使用寿命，并且较大的蠕变伸长会带来结构冗余设计问题，因而需要在工程设计阶段对涡轮叶片的蠕变进行评估。通常对涡轮转子叶片的蠕变计算采用的有基于梁理论的二维计算方法以及基于有限元蠕变分析模块的三维计算方法^[3~6]。二维的蠕变计算方法是将涡轮叶片简化成悬臂梁模型，在叶片发生变形的过程中叶片的典型截面始终保持为平面。该种方法较为简便，但通常只针对非叶冠叶片有效，并且在模拟叶片蠕变变形方面，对非冷却叶片模拟效果较好，而对冷却叶片模拟效果较差。蠕变模块化的三维有限元计算方法是基于瞬态的时间分析步长去模拟结构的蠕变，由于蠕变随时间变化，因而分析过程中通常需要大量的迭代求解，该方法过程较为繁琐，通常耗时较长，而且对冷却叶片当存在孔之类的小特征较多或结构极不连续时，由于应力集中现象会影响模拟的效果。目前还有一种被广泛应用的三维有限元计算方法，它利用等时应力应变曲线去模拟结构的蠕变，将材料的蠕变变形等效为材料的塑性变形，从而在材料的弹塑性本构关系基础上构建新的弹性-塑性-蠕变本构关系，该种方法将蠕变随时间的变化过程等效为与时间无关的静力过程^{[7, 8]}，分析过程较为简便，而且模拟效果较好。

航空发动机通常在多工况下持续工作，而结构的塑性应变及蠕变损伤具有累积效应，为了评估与计算涡轮叶片在多工况下的蠕变及卸载后的残余变形，上述通常的两种方法由于目前通用程序不能实现在工况间传递损伤累积效应，因而需要进行二次程序开发，并且传统的等时应力应变方法也不再可行，这是由于发动机每个工况的持久时间不同，因而对应的等时应力应变曲线不同，而有限元分析中应力应变曲线具有单值性。为此，本文提出了一种构建多工况下的等效等时应力应变曲线方法，基于该方法去简便计算涡轮叶片在多工况下的蠕变变形，并与航空发动机的持久试车试验结果进行了比较。

2 等效等时应力应变曲线

高温下的材料本构关系依赖于持久时间的变化，在高温下不仅要考虑材料的弹塑性变形，而且也要考虑材料的蠕变变形，因此高温下的材料总应变为^{[7, 9]}

$ {\varepsilon ^{{\text{total}}}}\left( {\sigma, \tau } \right) = {\varepsilon ^{\text{e}}}\left( \sigma \right) + {\varepsilon ^{\text{p}}}\left( \sigma \right) + {\varepsilon ^{\text{c}}}\left( {\sigma, \tau } \right) $

(1)

式中ε^total(σ, τ)为材料的总应变，ε^e(σ)，ε^p(σ)，ε^c(σ, τ)分别为材料的弹性、塑性及蠕变应变。

根据式（1）可以构建不同温度下的材料等时应力应变曲线。当存在多个工况时，同一温度下会存在多条等时应力应变曲线，如图 1所示。

在图 1的曲线中，可以取数组(ε_i, σ_i¹, σ_i², …σ_iⁿ)，其中ε_i为应变，σ_i¹, σ_i², …σ_iⁿ分别为工况1, 2, …, n下的等时应力应变曲线中对应于应变ε_i的应力。

为了分析涡轮叶片在多工况作用后的累积蠕变变形，可以采用三维的有限元方法，但在常规的有限元计算中同一温度下只能输入一条材料应力应变曲线（对应于应力应变曲线的单值性），因而为了适应目前有限元软件的计算，需要将图 1中多工况下的多条等时应力应变曲线构建为一条等效的等时应力应变曲线。

在每个应变ε_i下可以构建一个等效应力σ_i^equiv，其表达式为

$ \sigma _i^{{\text{equiv}}} = \sqrt[m]{{\frac{1}{{{\tau _{{\text{total}}}}}}{{\sum\nolimits_{j = 1}^n {\left( {\sigma _i^j} \right)} }^m}{\tau _j}}} $

(2)

式中m为随温度变化的持久强度指数，τ_total为所有工况的总持久时间，τ_j为工况j的持久时间。

上式利用了如下公式，即在同一温度下，根据KG蠕变损伤理论，对于金属材料有^[10]

$ \sigma _{{\text{lt}}}^m \times \tau = {\text{constant}} $

(3)

式中σ_lt^m为持久应力，τ为持久时间。

式（2）的物理意义是，σ_i^equiv在τ_total时段是恒定的，它引起的损伤相当于在各工况应力σ_i^j在持久时间τ_j作用下引起的总损伤。

在σ_i^equiv作用下，可以构建时间为τ_total的等时应力应变曲线。假设每个工况作用下的蠕变和塑性应变近似看作线性累积，且不考虑加载路径对材料塑性变形的影响。因而各工况累积的总应变为

$ \begin{gathered} \varepsilon _i^{{\text{equiv}}} = \varepsilon _1^{\text{c}}{\text{ + }}\varepsilon _2^{\text{c}}{\text{ + }} \cdots \varepsilon _n^{\text{c}} + \varepsilon _n^{\text{e}} + \varepsilon _1^{\text{p}} + \varepsilon _2^{\text{p}} + \cdots \varepsilon _n^{\text{p}} \approx \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon _1^{\text{c}} + \varepsilon _2^{\text{c}}{\text{ + }} \cdots \varepsilon _n^{\text{c}} + \varepsilon _i^n \hfill \\ \end{gathered} $

(4)

式中ε_i^c，ε_i^p分别为工况i(i = 1, 2, …n)作用下的蠕变及新产生的塑性应变，ε_iⁿ，ε_n^e分别为最后一个工况作用下产生的总应变及弹性应变。

依据(ε_i^equiv, σ_i^equiv)即可构建各工况的等效等时应力应变曲线。

3 实例分析

下面以航空发动机的涡轮一级工作叶片（冷却叶片）为例，应用上述方法计算涡轮叶片持久试车试验中在分别经历了四个工况后的残余塑性及蠕变变形。

已知该涡轮叶片为某铸件材料，在不同温度下的平均拉伸应力应变曲线见图 2，各个工况下的工作转速、涡轮前温度和持久时间见表 1。

对于该涡轮叶片材料，可用如下方程来模拟蠕变过程的第一和第二阶段^[11]

$ {\varepsilon ^{\text{c}}} = A{\sigma ^b}{t^{\text{p}}} $

(5)

其中(A, b, p)是三个无量纲参数，因而可以构建每个工况的等时应力应变曲线，如图 3所示。

该材料的持久强度指数见表 2所示。将图 3各个工况中同一温度下的等时应力应变曲线取出构建成图 1所示形式，然后利用式（2），式（4）来构建每个温度下的等效等时应力应变曲线。本文采用MATLAB编程得到950℃时各工况的等效等时应力应变曲线，见图 4所示，其中图中的“+”曲线为构建的等效等时应力应变曲线。其它温度下的等效等时应力应变曲线暂不列出。

需要注意的是，等效应力应变曲线的适用范围与等时应力应变曲线的适用范围是相同的，即针对蠕变只发生在第一和第二阶段。

温度是影响涡轮叶片蠕变的一个重要参数，在进行叶片温度分析时，通过实验和计算方法，研究者^[12~15]分析了叶片的温度分布特点，认为叶片的温度基本沿着径向发生变化，涡轮进口温度沿径向呈抛物线规律分布，冷气温度沿叶高方向逐渐增大，近似成幂指数规律。因而一些研究者^{[16, 17]}根据所提出的不同假设，发展了计算叶片径向温度的简便公式。本文采用Horlock等^[17]提出的方法对涡轮叶片进行温度场计算，得到Case 1下的叶片径向温度分布，见图 5所示。

由于对于一台给定的发动机，其叶片的冷却设计是一定的，因此涡轮前温度与叶片温度具有一定相关性，可以根据涡轮前温度来估算其它工况下的叶片温度场^[18]

$ T = \frac{{{T_{41}}}}{{{T_{{\text{ref}}}}}}{T_{{\text{s, ref}}}} $

(6)

式中T₄₁为涡轮前温度，T_ref为Case 1涡轮前温度，T_{s, ref}为Case 1下的叶片温度。

其它工况下的叶片温度暂不列出。用上述构建的等效等时应力应变曲线计算涡轮叶片在先后经历4个工况工作后的残余变形，由于塑性变形与载荷加载路径有关，在有限元模拟中按默认线性加载，载荷包括各工况下的转速和温度。其中转速以离心载荷形式施加到涡轮叶片上，温度场以节点温度形式施加到模型上，约束涡轮叶片榫头的各向位移。采用通用有限元软件ABAQUS进行静力计算分析。

经计算，有限元模拟的第4个工况的工作过程中的变形及卸载后变形见图 6所示。

应用上述所介绍的各计算蠕变方法，计算该涡轮叶片在先后经历了4个工况后的残余变形，计算结果见表 3所示。

发动机持久试车试验在中国航发湖南动力机械研究所进行，试验中采用了4台发动机按相同试车程序和条件进行，分别进行试验后测量涡轮叶片尖端径向伸长量。从表 3可看出，方法1计算的残余变形与试验结果相对误差的平均值为45.35%，方法2计算的残余变形与试验结果相对误差的平均值为31.14%，方法3计算的残余变形与试验结果相对误差的平均值为15.30%。

如上述讨论，传统的等时应力应变曲线方法只适合单工况条件，因而不予考虑。表 3中所采用的三种计算方法，方法1和方法2都采用了二次程序开发，其中方法1表明当存在累积损伤时，二维的梁理论方法适用性较差，实际上也违背了梁理论的平面假设条件。方法2中基于蠕变曲线以及瞬态时间步的应力应变计算方法，当结构的小特征或结构不连续较严重时，由于存在较多的应力集中部位，通常导致放大了结构的蠕变效应。方法3将材料蠕变等效为塑性应变，时间的因素自动包含在材料的本构关系中，因而可以采用一般静力分析方法，这使得分析方法简单，而且证明工程适用性较好。

4 结论

基于本文研究，得出如下结论：

（1）基于二维梁理论和基于时间步的三维有限元分析方法，计算涡轮叶片卸载后的残余变形与发动机持久试车结果的相对误差的平均值分别为45.35%，31.14%，而基于等效等时应力应变曲线方法所计算的相对误差的平均值为15.30%。

（2）等效等时应力应变曲线的方法由于将蠕变随时间的变化这一因素自动包含在材料的本构关系中，因而采用这一方法时可以用一般静力分析方法，这使得分析方法快速方便，不需要对目前通用有限元软件进行二次程序开发。

目前该种方法已应用于多种发动机型号的研制中，被证明适用性较好。但是需注意，在等效等时应力应变曲线的构建中，将结构的蠕变损伤等效为结构的塑性损伤（这也是传统等时应力应变方法的思想），显然这两种损伤定义不同，但在蠕变的第一和第二阶段，以及结构的塑性量较小时，工程实例表明，这种等效是可接受的。