1 引言

陶瓷基复合材料(CMC)具有耐高温、比刚度大、比强度高以及热膨胀系数低等优点，越来越广泛地应用于先进航空发动机高温部件^[1~4]。陶瓷基复合材料密度仅为普通高温合金的1/3~1/4，而且强度不会因为温度升高而发生大的降低，有的陶瓷基复合材料在高温下的强度甚至高于在室温下强度。陶瓷基复合材料可在高于1300℃的工作环境中保持优异的材料性能，不仅满足高温部件的工作温度要求，还可以减少冷气用量以及相应的附属系统重量，提高热循环效率和发动机推重比。陶瓷基复合材料已经在航空发动机静子部件中有了广泛的应用，例如高压涡轮导向器叶片、燃烧室火焰筒、加力燃烧室隔热屏和喷管调节片等。近年来，研究者还在逐步将航空发动机中的陶瓷基复合材料由低承力部件^[5] (静子部件)推广应用到高承力部件^[6] (转子部件)，并开展了相关的试验研究(例如美国GE公司) ^[7]。现阶段，陶瓷基复合材料已经从单向纤维增强发展至二维甚至多维结构^[8]，陶瓷基复合材料特别是SiC/SiC复合材料编织结构的应用是未来的主要发展方向之一，我国在研的某型发动机涡轮导向叶片正是选用的二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料。

纤维增强陶瓷基复合材料是一种多相体系、非均质的材料，具有独特的结构特征，复杂程度远远超过了金属材料。陶瓷基复合材料内部纤维束及基体的细观组成、基体/纤维之间的界面作用和组分材料的属性等细观特征密切影响着陶瓷基复合材料整体力学及物理性能。编织陶瓷基复合材料的力学性能预测是细观结构设计的基础。目前常用的二维编织复合材料等效力学性能预测方法包括刚度平均法^[9]、细观力学有限元法^[10]、多尺度渐进分析方法^[11]等。这些方法通常均基于编织结构的一个代表性体积单元(RVE)，即单胞模型。因此，建立能够描述编织结构特征的单胞模型，是获得准确的宏观材料常数的关键。另一方面，由于CMC涡轮导向叶片受到转子叶片非定常气流的扰动，易出现气动力诱发的强迫振动现象；同时，导叶还直接与机匣连接，发动机整机振动也容易传到导叶上引起振动疲劳^{[12, 13]}。据统计，在航空发动机中，由气流激振诱发的高循环疲劳失效事故约占总事故的25%，高周振动问题是制约陶瓷基复合材料在发动机中应用的主要瓶颈之一。因此，有必要研究CMC编织复合材料的振动特性^{[14, 15]}，为CMC涡轮导向叶片的振动及高周寿命预测提供支持。

基于此，本文采用细观力学有限元法预测了二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料宏观等效弹性常数，并以获得的弹性常数为基础开展了复合材料平板的模态分析及模态试验研究。首先，根据二维编织SiC/ SiC陶瓷基复合材料结构特点建立了基于3次B样条曲线和正弦曲线的单胞模型；然后，利用细观力学有限元法进行宏观等效弹性常数预测并与文献试验数据对比；最后，基于获得的宏观弹性常数，对二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料平板振动模态进行了预测，并与锤击法模态试验结果进行对比。

2 编织陶瓷基复合材料单胞模型

采用细观力学有限元法，将二维编织陶瓷基复合材料看作由纤维束(纱线)和基体组成，建立单胞模型并求解其边值问题，获取细观应力/应变场，然后根据均匀化方法^[16]计算材料宏观等效力学性能常数。

2.1 纤维束等效弹性常数

每一根纤维束大约由500~2000根纤维^[17]、填充基体以及界面层组成，但考虑到计算成本，研究者通常将纤维束处理为宏观各向同性的单向增强复合材料，由单根纤维丝、填充基体以及界面层组成。纤维束的宏观等效力学性能可以采用经验公式法、细观力学有限元法^[10]、多尺度渐进分析方法^[11]等。在经验公式法中，文献[18]将混合准则^[19]扩展为3种组分的情况，并用于获取三维编织CMC复合材料纤维束的力学性能参数，所得结果与实际情况接近。本文将采用扩展的混合法则，纤维束弹性常数的计算公式为

$ \begin{array}{l} {E_{11}} = {E_{{\rm{f11}}}}{\varphi _{\rm{f}}} + {E_{\rm{m}}}{\varphi _{\rm{m}}} + {E_{\rm{i}}}{\varphi _{\rm{i}}}\\ {E_{22}} = \frac{{{E_{{\rm{f22}}}}{E_m}{E_{\rm{i}}}}}{{{\varphi _{\rm{f}}}{E_{\rm{m}}}{E_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{m}}}{E_{{\rm{f22}}}}{E_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{i}}}{E_{{\rm{f22}}}}{E_{\rm{m}}}}}\\ {G_{12}} = \frac{{{G_{{\rm{f12}}}}{G_m}{G_{\rm{i}}}}}{{{\varphi _{\rm{f}}}{G_{\rm{m}}}{G_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{m}}}{G_{{\rm{f12}}}}{G_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{i}}}{G_{{\rm{f12}}}}{G_{\rm{m}}}}}\\ {G_{23}} = \frac{{{G_{{\rm{f23}}}}{G_{\rm{m}}}{G_{\rm{i}}}}}{{{\varphi _{\rm{f}}}{G_{\rm{m}}}{G_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{m}}}{G_{{\rm{f23}}}}{G_{\rm{i}}} + {\varphi _{\rm{i}}}{G_{{\rm{f23}}}}{G_{\rm{m}}}}}\\ {\mu _{12}} = {\mu _{{\rm{f12}}}}{\varphi _{\rm{f}}} + {\mu _{\rm{m}}}{\varphi _{\rm{m}}} + {\mu _{\rm{i}}}{\varphi _{\rm{i}}} \end{array} $

(1)

式中下标f，m，i分别表示纤维、基体和界面层；E，G，μ，φ分别为弹性模量，剪切模量、泊松比和体积分数；下标1表示沿纤维束纵向，下标2，3表示纤维束横向。

2.2 单胞模型建立

本文的研究对象是平纹编织的二维编织陶瓷基复合材料。径向与纬向纤维束交织形式如图 1所示，其细观结构具有周期性。图 2为相应的横截面显微照片^[20]，可以看出纱线轨迹近似为正弦曲线。同时还可以观察到纱线截面轮廓近似为多项式函数曲线，因此，本文采用3次样条曲线对纱线截面轮廓进行模拟。

建立的单胞模型如图 3所示，对应于图 1的矩形区域，对其进行周期性排列即可得到完整的编织复合材料结构。其中，h表示单胞厚度，l表示单胞宽度，a表示纱线半宽度，b表示纱线半厚度，d表示纱线轨迹正弦曲线幅值。

该单胞模型中的纱线轨迹为正弦曲线，其幅值为d，表达式为

$ y = d\sin \left( {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{l}x-\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2}} \right) $

(2)

采用3次B样条曲线描述的纤维束截面轮廓为

$ y = \frac{{2-4\lambda }}{{{a^2}}}b{x^2} + \frac{{4\lambda-1}}{a}bx $

(3)

式中参数λ用来表征纤维束截面的扁平程度。

综合式(2)、式(3)，得到的纤维束截面轮廓与轨迹线如图 4所示。

3 宏观等效弹性常数预测

本文基于细观力学有限元法，通过求解单胞模型的边值问题，获取细观应力/应变场，然后根据均匀化方法^[16]计算材料宏观等效力学性能常数。材料宏观应力-应变本构关系为

$ {\bar \sigma _{ij}} = {\boldsymbol{C}_{ijkl}}{\bar \varepsilon _{kl}} $

(4)

式中C_ijkl为等效刚度矩阵，σ_ij，ε_kl分别为单胞的平均应力和平均应变，其表达式为

$ {{\bar \sigma }_{ij}} = \frac{1}{V}\int\limits_V {{\sigma _{ij}}{\rm{d}}V}, {{\bar \varepsilon }_{kl}} = \frac{1}{V}\int\limits_V {{\varepsilon _{kl}}{\rm{d}}V} $

(5)

相应地，材料的等效柔度矩阵S_ijkl表示为

$ {\boldsymbol{S}_{ijkl}} = \boldsymbol{C}_{ijkl}^{-1} = {({{\bar \sigma }_{ij}}\bar \varepsilon _{kl}^{-1})^{-1}} = {{\bar \varepsilon }_{kl}}\bar \sigma _{ij}^{ - 1} $

(6)

二维编织陶瓷基复合材料为正交各向异性材料，其等效柔度矩阵S_ijkl与材料常数存在如下关系

$ {S_{ijkl}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{{E_1}}}}&{-\frac{{{\mu _{12}}}}{{{E_1}}}}&{-\frac{{{\mu _{13}}}}{{{E_1}}}}&0&0&0\\ {-\frac{{{\mu _{12}}}}{{{E_1}}}}&{\frac{1}{{{E_2}}}}&{ - \frac{{{\mu _{23}}}}{{{E_2}}}}&0&0&0\\ { - \frac{{{\mu _{13}}}}{{{E_1}}}}&{ - \frac{{{\mu _{23}}}}{{{E_2}}}}&{\frac{1}{{{E_3}}}}&0&0&0\\ 0&0&0&{\frac{1}{{{G_{23}}}}}&0&0\\ 0&0&0&0&{\frac{1}{{{G_{31}}}}}&0\\ 0&0&0&0&0&{\frac{1}{{{G_{12}}}}} \end{array}} \right\} $

(7)

选取文献[21]中的二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料作为算例分析，单胞几何参数为：h=0.304mm，l= 1.168mm，a=0.4672mm，b=0.0624mm，d=0.076mm，其有限元模型如图 5所示，单元类型为八节点六面体单元C3D8R。共包括7090单元和8680节点，其中基体和纱线的单元数分别为4290和2800。分别计算表 1中的六种边值问题。表中，S(x^{min / max}, y, z)，S(x, y^{min / max}, z)，S(, y, z^{min / max})分别表示垂直于x，y，z轴坐标最小/大的平面，u_x，u_y，u_z分别表示x，y，z方向的位移约束，coup表示该平面所有节点耦合，即位移相同。

应力场和应变场计算结果如图 6，图 7所示，然后由式(4) ~ (7)，预测宏观等效弹性常数，结果如表 2所示。与试验数据对比可知，在编织平面xy的两个主方向的弹性模量E₁₁，E₂₂误差均小于3%，证明该方法可以很好地预测二维编织陶瓷基复合材料面内的弹性性能。

4 复合材料锤击法模态试验

本文开展了二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料平板的锤击法模态试验，一方面用来验证模态分析的准确性，另一方面也可进一步证明复合材料宏观等效弹性常数的预测精度。采用第3节的方法，预测模态试验所用的二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料等效弹性常数为：E₁₁ = E₂₂ =223.4GPa，E₃₃ =42.8GPa，G₁₂ = 94.1GPa，G₁₃= G₂₃=17.0GPa，μ₁₂=0.246，μ₁₃= μ₂₃ =0.203。

试验件尺寸如图 8所示，试件厚度为3mm，厚度方向包含8层平纹编织结构，采取锤击试验法对10个试件进行了模态测试。由于试验件刚度较大，若采用悬臂梁形式固定试件，其振动频率将会极高，锤击后反弹速度极快，极易发生二次锤击，造成试验误差。因此，本文使用柔性细棉线悬挂试件的形式进行锤击试验，这种方法可以有效避免二次锤击，提高试验精度；并且相比于悬臂梁形式，悬挂形式的锤击试验每一阶的频率值都较低，在声压传感器的可测频率范围内，可以测试更多阶数的模态信号。图 9为锤击法模态试验示意图，图 10为悬挂试验件照片。

本试验所用声压传感器型号为INV9206，可以将接收到的微弱声音信号转换为电信号，通过导线传递给信号采集卡进行处理，其频率响应范围为20Hz~20kHz。信号采集器型号为INV3051，包含4路24位输入通道和1路24位输出通道。控制软件为DASP V10，可同时采集多个信号并进行实时分析，用于动静态试验。

试验时，重复敲击试验件3次，利用信号采集器收集力锤上的力信号；利用声压传感器采集试验件振动信号并传递给信号采集器。图 11 (a)所示为试验件振动的声压波形图，通过对其进行后处理频谱分析，得到了包含该试验件前五阶模态的频谱，见图 11 (b)。

采用有限元方法对悬挂试验件进行模态分析，前五阶振型如图 12所示。在悬挂状态下，试验件一阶振型为Z向一弯，频率为1695.9Hz；二阶振型为Z向二弯，频率为4738.3Hz；三阶振型为Y向一弯，频率为5733.4Hz；四阶振型为X向一扭，频率为9126.7Hz；五阶振型为Z向三弯，频率为9189.1Hz。振动频率的有限元计算结果和锤击法试验测试结果对比如表 3所示。前5阶固有频率的预测值与试验值的相对误差相比较小，均在4%以内。这说明有限元方法可以精确地预测二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料的振动特性，同时也进一步验证了二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料宏观等效弹性常数预测的准确性。

5 结论

本文的工作，建立了二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料等效弹性常数预测方法，预测结果可以用于振动模态分析。

(1) 根据二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料结构特点，建立了基于3次B样条曲线和正弦曲线的单胞模型。

(2) 利用建立的单胞模型，结合细观力学有限元方法进行宏观等效弹性常数的预测，并与文献提供的试验数据进行对比，面内弹性模量误差小于3%，验证了方法的准确性。

(3) 开展了二维编织SiC/SiC陶瓷基复合材料平板的锤击法模态试验及模态分析，前五阶固有频率与试验结果相比均小于4%，验证了模型的准确性。