1 引言

变循环航空发动机通过可调涵道比来适应不同的工作模式，这一特点扩大了发动机的工作包线从而使得系统受到更复杂的外界环境、质量特性等外部干扰影响^{[1, 2]}。如：扩大的工作包线要求发动机工作于更高的工作环境，造成空气雷诺数更低，使得发动机的进气条件更加的稀薄从而影响了系统的稳定性，并且产生更为多变的空气扰动等，这就要求变循环发动机的控制系统能够克服高空稀薄空气对系统的干扰。当前，美国已经提出了第五代变循环航空发动机即自适应循环发动机，可以看出，自适应控制技术对充分发挥变循环航空发动机潜力的重要性^{[3, 4]}。然而，传统模型参考自适应控制系统均基于李亚普诺夫函数的稳定性证明来设计自适应律，无法保证系统存在外部不确定等干扰时具有稳定的动态跟踪特性，且无论外部干扰多大，均会产生一定程度的参数飘移等现象^[5]。而鲁棒自适应控制方法以引入有界干扰项的对象模型出发，通过相应鲁棒修正方法进行自适应律的选取，进而基于李亚普诺夫方法提高自适应控制方法的抗干扰能力^[3]。因此，对于存在较大外部干扰的变循环航空发动机这一复杂的多变量系统来讲，有必要开展鲁棒自适应控制器设计等研究工作，而国内外已开展了大量相关研究。

Baghbani F等对存在不确定性时的某一非线性系统，设计了基于H₂/H_∞与模糊混合的鲁棒自适应控制器，并得到了最小跟踪误差的优化方法^[6]，可以看到通过智能控制方法与自适应控制方法融合能够有效地实现系统的动态跟踪。Yildiray Yildiz等针对多变量控制系统提出了一种鲁棒自适应Posicast控制器设计方法，改善了自适应控制延迟不匹配的问题^[7]。Jian Hu等通过混沌方法改善了鲁棒自适应控制方法对模型不确定性的动态跟踪效果^[8]。国外针对发动机的相应鲁棒自适应控制方法亦做了相关研究，Pe⁃ dram Bagheri针对某一变速发动机动态未建模问题，开展了相应的鲁棒自适应控制方法研究，消除了控制出现的不同幅度的震荡现象^[9]。国内也开展了鲁棒自适应控制方法相关研究，朱亮等对空间飞行器的不确定性进行了不同方法的建模，在此基础上开展了相应的鲁棒自适应控制律设计，保证了系统的全局渐进稳定^[10]。张维存等采用一种改进的加权算法，通过加权鲁棒多模型自适应控制方法实现了线性随机系统的收敛性与稳定性证明^[11]。与此之外，张敏等利用BP神经网络实现了鲁棒e修正自适应控制方法的动态补偿，并将该方法应用至航空发动机^[12]。

由此可见，近年来许多学者从不同角度对鲁棒自适应控制方法及航空发动机应用等问题进行了研究分析，并取得了一定的成果，但是通过射影算子来设计自适应律的相关方法涉及较少。同时，针对变循环航空发动机这一特定对象的鲁棒自适应控制方法研究更是没有相关文献记录。因此存在外部干扰时，基于射影算子的方法进行某型变循环航空发动机的鲁棒自适应控制器的设计与应用研究。

2 问题描述 2.1 理论分析

变循环航空发动机可以看做一个复杂的具有强非线性的多输入多输出MIMO动态系统，如式(1)所示。

$ \begin{array}{l} {{\dot x}_{\rm{p}}} = {A_{\rm{p}}}{x_{\rm{p}}} + {B_{\rm{p}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {u + {{\rm{\Theta }}^{\rm{T}}}f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) + \xi \left( t \right)\\ y = {C_{\rm{p}}}{x_{\rm{p}}} + {D_{\rm{p}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {u + {{\rm{\Theta }}^{\rm{T}}}f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) \end{array} $

(1)

式中Λ∈R^m×m为常量不确定性矩阵，它是具有严格正对角元素λ_i的未知对角矩阵，Θ为不确定性的变化速率，f(x_p)为系统匹配不确定性。ξ(t)为外部未知干扰，定义该干扰量为一致有界时变扰动。其中，模型参考自适应控制的目标即通过e的渐进趋于零达到系统状态x跟踪参考状态x_ref。通过式(1)与参考模型矩阵得到

$ \dot e = {A_{{\rm{ref}}}}e - B\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}f\left( x \right) + \xi \left( t \right) $

(2)

选取径向无界二次李亚普诺夫候选函数为

$ V\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) = {e^{\rm{{\rm T}}}}Pe + tr\left( {\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Gamma }_\mathit{\Theta }^{ - 1}\Delta \mathit{\Theta }\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}} \right) $

(3)

式中，Γ_Θ = Γ_Θ^T > 0表示恒定的自适应速率，P = P^T > 0是代数李亚普诺夫方程的唯一对称正定解，可表示为

$ \begin{array}{l} P{A_{{\rm{ref}}}} = A_{{\rm{ref}}}^{\rm{T}}P = - Q \end{array} $

式中Q = Q^T > 0。沿着式(2)轨迹对式(1)求取时间微分，得

$ \begin{array}{l} \dot V\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) = \\ - {e^{\rm{{\rm T}}}}Qe - 2{e^{\rm{{\rm T}}}}PB\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}f\left( x \right) + 2{e^{\rm{{\rm T}}}}P\xi \left( t \right) + 2tr\left( {\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Gamma }_\mathit{\Theta }^{ - 1}\mathit{\dot {\hat \Theta} }\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}} \right) \end{array} $

(4)

取自适应律为

$ \mathit{\dot {\hat \Theta} } = {\mathit{\Gamma }_{\mathit{\hat \Theta }}}f\left( x \right){e^{\rm{T}}}PB $

(5)

则得到

$ \begin{array}{l} \dot V\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) = \\ - {e^{\rm{{\rm T}}}}Qe + 2{e^{\rm{{\rm T}}}}P\xi \left( t \right) \le - {\lambda _{\min }}\left( Q \right){\left\| e \right\|^2} + 2\left\| e \right\|{\lambda _{\max }}\left( P \right){\xi _{\max }} \end{array} $

(6)

则存在以下集合

$ E\left\{ {\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right):\left\| e \right\| \le 2\frac{{{\lambda _{\max }}\left( P \right)}}{{{\lambda _{\max }}\left( Q \right)}}{\xi _{\max }} = {e_0}} \right\} $

(7)

使得集合E的外部有$\dot V < 0 $，且$ \dot V $的大小由ξ(t)决定。由于该集合无界，导致参数估计误差ΔΘ没有限制范围。因此，在该集合内部，$ \dot V $有可能为正数，出现了自适应参数的参数飘移现象。

2.2 系统干扰时变循环航空发动机控制效果分析

对于变循环航空发动机而言，其环境条件大范围随机变化，而传统从非线性模型得到的状态空间模型无法考虑未知扰动，因此控制器是在定常环境条件下模型为基础建立的，即大气温度和压力随飞行高度和飞行马赫数的变化规律是已知的。但实际上发动机即使在同一高度同一马赫数下工作时，其环境条件即大气温度、大气压力和大气湿度都是随机变化的，且这些变化均未知。

因此，传统的自适应律设计方法无法保证变循环航空发动机控制系统的抗干扰稳定性能。此处分别对变循环发动机三个状态变量的动态形式引入4%幅值的随机噪声干扰，如图 1所示。

进而基于LQR (Linear Quadratic Regulator)基准控制器下的模型参考自适应控制器的仿真分析。依据美国F120变循环航空发动机的稳态巡航控制规律作为控制指令要求：

通过主燃油流量w_f，可调尾喷管喉部面积A₈以及后涵道可调引射器面积A_RVABI来控制低压转子相对换算转速n_{l, cor}，发动机压比以及混合室入口外EPRS，内涵气流总压比LEPR。其中被控参数如下式(8)所示

$ \begin{array}{l} {n_{{\rm{l}},cor}} = {n_1}/\sqrt {{T_{t2}}} \\ EPRS = {p_{{\rm{s63}}}}/{p_{{\rm{t2}}}}\\ LEPR = {p_{{\rm{t163}}}}/{p_{{\rm{t63}}}} \end{array} $

(8)

式中n_l为低压转子转速，T_t2与p_t2为风扇进口总温总压，p_s63与p_t63为混合室入口内涵气流静压与总压，p_t163为混合室入口外涵气流总压。图 2分别给出了某状态点低压换算转速(n_{l -cor})、发动机压比(EPRS)以及内外涵总压比(LEPR)单位阶跃指令下的仿真结果。

可以看出，当考虑变循环航空发动机外部干扰时，与理论分析一致，基于传统方法所设计的自适应律下的模型参考自适应控制器无法保证预期的控制期望，系统三个输出变量均会产生不同程度的振荡现象。因此，有必要进行鲁棒自适应控制器的设计与应用研究，以提高系统鲁棒性。

3 基于射影算子模型参考鲁棒自适应控制器设计 3.1 基于射影理论的鲁棒自适应控制方法的提出

模型参考自适应控制由跟踪误差e = x -x_ref来驱动自适应增益${\hat K_{\rm{u}}} $和$\mathit{\hat \Theta } $变化，图 3所示给出了基本模型参考自适应控制结构框图。

可以看出，状态跟踪误差e^TPB与非线性不确定函数Φ(x)的乘积构成了不具有鲁棒修正的自适应律动态，而之后会引入积分项得到自适应参数。因而，在反馈回路中会通过非线性积分器构筑自适应参数从而产生系统的积分饱和现象。实际中，必须对反馈积分器加以限制管理从而约束输出信号。当前普遍采用的鲁棒自适应控制方法均不能满足这一条件^{[13, 14]}。

同时，参数摄动对死区修正、e修正以及σ修正等鲁棒自适应方法的影响特别大，当变循环航空发动机在某一飞行包线区域大范围变化时，自适应参数会不适用于当前状态要求而导致控制系统发散^{[15, 16]}。综上分析，通过引入射影理论的凸集限制使得自适应参数在约束于一定的变化范围内，来解决子控制器对某一区域变化时的控制参数局部最优问题，同时防止了控制回路中的积分饱和现象。以下将给出基于射影理论的多变量鲁棒自适应控制器的设计原理和应用。

3.2 基准控制器和参考模型

基于LQR基准控制器进行模型参考自适应控制方法的设计与应用研究。首先给出定义输出跟踪误差

$ {e_y}\left( t \right) = y\left( t \right) - {r_{{\rm{cmd}}}}\left( t \right) $

(9)

$ {{\dot e}_{yI}}\left( t \right) = {e_y} = y - {r_{{\rm{cmd}}}} $

(10)

式中r_cmd(t) ∈R^m表示系统输出要跟随的有界指令，e_yI为e_y的积分。

则增广开环动态可写为

$ \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot e}_{yI}}}\\ {{{\dot x}_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_{\dot x} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{C_{\rm{p}}}}\\ 0&{{A_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_A\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{yI}}}\\ {{x_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_x + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_{\rm{p}}}}\\ {{B_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_B \\ \mathit{\Lambda }\left( {u + f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) + \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {I_{m \times m}}}\\ {{0_{{n_{\rm{p}}} \times m}}} \end{array}} \right]}_{{B_{{\rm{ref}}}}}{r_{{\rm{cmd}}}} + \underbrace {\left[ \begin{array}{l} 0\\ \eta \left( t \right) \end{array} \right]}_{\xi \left( t \right)} $

(11)

即

$ \dot x = Ax + B\mathit{\Lambda }\left( {u + {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Phi }\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) + {B_{{\rm{ref}}}}{r_{{\rm{cmd}}}} + \xi \left( t \right) $

(12)

根据式(1)、式(11)，得输出y为

$ y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{C_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{yI}}}\\ {{x_{\rm{p}}}} \end{array}} \right] + {D_{\rm{p}}}\mathit{\Lambda }\left( {u + {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} \right) = Cx + D\left( {u + {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Phi }\left( x \right)} \right) $

(13)

首先设计基准LQR-PI控制器

$ {u_{{\rm{bl}}}} = - K_x^{\rm{T}}x = - {K_{\rm{I}}}{e_{yI}} - {K_p}x = {K_I}\frac{{\left( {{y_{{\rm{cmd}}}} - y} \right)}}{s} - {K_{\rm{p}}}{x_{\rm{p}}} $

(14)

其中，最优控制增益矩阵

$ \mathit{\boldsymbol{K}}_x^{\rm{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{\rm{I}}}}&{{K_{\rm{p}}}} \end{array}} \right) $

(15)

K_I，K_p分别表示积分增益与比例增益。

通常，自适应控制中参考模型选取为指令跟踪提供期望，同时保证各回路的解耦，通过基准控制器的最优律求得各标称点的闭环动态期望。参考模型为

$ \begin{array}{l} {{\dot x}_{{\rm{ref}}}} = \underbrace {\left( {A - BK_x^{\rm{T}}} \right)}_{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{ref}}}}}{x_{{\rm{ref}}}} + {B_{{\rm{ref}}}}{r_{{\rm{cmd}}}}\\ {y_{{\rm{ref}}}} = \underbrace {\left( {C - DK_x^{\rm{T}}} \right)}_{{B_{{\rm{ref}}}}}{x_{{\rm{ref}}}} \end{array} $

(16)

式中A_ref为Hurwitz矩阵。

3.3 射影算子基本原理

射影算子能够实现多变量系统的各个参数的快速自适应跟踪，同时保证自适应参数的一致有界性，并且能够维持参数误差动态变化和系统的闭环稳定性等。射影算子是基于凸函数的概念发展的，是对类射影修正方法的扩展及延伸此处定义连续射影算子^{[17, 18]}。此处定义连续射影算子

$ \begin{array}{l} {\rm{Proj}}\left( {\theta ,y} \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} y - \frac{{\mathit{\Gamma }\nabla f\left( \theta \right){{\left( {\nabla f\left( \theta \right)} \right)}^{\rm{T}}}}}{{\left\| {\nabla f\left( \theta \right)} \right\|_\mathit{\Gamma }^{\rm{T}}}}yf\left( \theta \right),{\rm{condition}}:f > 0\mathit{\Lambda }{y^{\rm{T}}}\nabla f\left( \theta \right) > 0\\ y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{condition}}:{\rm{others}} \end{array} \right. \end{array} $

式中Γ ∈ R^{n × n}为任意的对称正定常数矩阵，$\left\| {\nabla f} \right\|_\mathit{\Gamma }^{\rm{T}} = {(\nabla f)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}\nabla f$为$\nabla f$的加权欧氏平方范数。

图 4给出了射影算子的几何意义。可以看出，如果y处于图 4的内圆集合内，Proj(θ, y)不会改变矢量y。而在环形集合内部，射影算子通过消除矢量y在{ f (θ) = λ}边界上的垂直矢量，使得λ = 0至λ = 1过程中，y从初始矢量变为Ω₁边界矢量的切线。

可以将图 4所示的射影算子扩展到n维动态下，可以证明，对于n维动态射影算子内的任意初始条件，其动态轨迹f (θ(t))在t > 0任意时刻，均能够保持在式(17)，(18)所示集合内。

$ {\mathit{\Omega }_0} = \left\{ {\theta \in {R^n}\left| {f\left( \theta \right) \le 0} \right.} \right\} $

(17)

$ {\mathit{\Omega }_1} = \left\{ {\theta \in {R^n}\left| {f\left( \theta \right) \le 1} \right.} \right\} $

(18)

且由射影算子定义式可以推导

$ \dot f\left( \theta \right)\left\{ \begin{array}{l} > 0,{\rm{condition}}:\left[ {0 < f\left( \theta \right) < 1\Lambda {y^{\rm{T}}}\nabla f > 0} \right]\\ \le 0,{\rm{condition}}:\left[ {f\left( \theta \right) \le 1\mathit{\Lambda }{y^{\rm{T}}}\nabla f \le 0} \right] \end{array} \right. $

由推导的动态轨迹变化率$\dot f(\theta (t))$可以看出，如果f(θ(0))> 0，则对于任意t > 0，f(θ(t))单调递增，且均小于1。如果f(θ(0)) < 0，则对于任意t > 0，f(θ(t))单调递减。综上，无论负数初始值如何选取，动态轨迹均有界且f(θ(t)) < 1。

通过对射影算子的基本原理和推论进行分析，可以看到，只要系统处于依据该理论建立的凸集范围内，无论外部指令如何变化，均能够保持一致有界性。因而，该理论能够为自适应律的设计提供理论保证。

3.4 基于射影算子的鲁棒自适应控制器设计

基于图 3给出的控制结构，采用射影算子提高传统自适应律的鲁棒性。

首先对存在系统不确定性Λ和Θ以及有界未知干扰ξ(t)时，实现LQR基准控制器的自适应增广^[15~18]。确定控制输入为基准控制器u_bl和自适应增广u_ad，即

$ u = - K_x^{\rm{T}}x + {u_{{\rm{ad}}}} = {u_{{\rm{bl}}}} + {u_{{\rm{ad}}}} $

(19)

将式(18)带入式(11)得

$ \begin{array}{l} \dot x = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{ref}}}}x + B\mathit{\Lambda }\left( {{u_{{\rm{ad}}}} + \underbrace {\overbrace {\left( {{I_{m \times m}} - {\mathit{\Lambda }^{ - 1}}} \right)}^{K_{\rm{u}}^{\rm{T}}}{u_{{\rm{bl}}}} + {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\Phi }\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)}_{{{{\rm{\bar \Theta }}}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi }\left( {{u_{{\rm{bl}}}},{x_{\rm{p}}}} \right)}} \right) + {B_{{\rm{ref}}}}{y_{{\rm{cmd}}}} + \xi \left( t \right)\\ y = {C_{{\rm{ref}}}}x + D\mathit{\Lambda }\left( {{u_{{\rm{ad}}}} + {{\mathit{\bar \Theta }}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi }\left( {{u_{{\rm{bl}}}},{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) \end{array} $

(20)

定义回归矢量为

$ \mathit{\bar \Phi }\left( {{u_{{\rm{bl}}}},{x_{\rm{p}}}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{{\rm{bl}}}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\Phi }^{\rm{T}}}\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \end{array}} \right)^{\rm{T}}} $

(21)

确定未知/理想参数的增广矩阵为

$ \mathit{\hat \Theta } = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {K_{\rm{u}}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}} \end{array}} \right)^{\rm{T}}} $

(22)

通过设计自适应输入分量u_ad主导系统匹配不确定性${\mathit{\hat \Theta }^{\rm{T}}}\mathit{\hat \Phi }({u_{{\rm{bl}}}}, {x_{\rm{p}}})$，即

$ \begin{array}{l} \dot x = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{ref}}}}x - B\mathit{\Lambda }\Delta {{\mathit{\hat \Theta }}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi } + {B_{{\rm{ref}}}}{r_{{\rm{cmd}}}} + \xi \left( t \right)\\ y = {C_{{\rm{ref}}}}x - D\mathit{\Lambda }\Delta {{\mathit{\hat \Theta }}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi } \end{array} $

(23)

式中$\Delta \mathit{\hat \Theta }{\rm{ = }}\mathit{\dot {\hat \Theta} }-\mathit{\hat \Theta }$是参数估计误差矩阵。

计算跟踪误差及动态方程，即

$ e = x - {x_{{\rm{ref}}}} $

(24)

$ \dot e = {A_{{\rm{ref}}}}e - B\mathit{\Lambda }\Delta {{\mathit{\bar \Theta }}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi } $

(25)

选取能够表征系统能量的考虑径向无界的二次李雅普诺夫候选函数以设计自适应律，从而保证误差动态的闭环稳定性

$ \mathit{V}\left( {e,\Delta \mathit{\hat \Theta }} \right) = {e^{\rm{T}}}{P_{{\rm{ref}}}}e + tr\left( {\Delta {{\mathit{\hat \Theta }}^{\rm{T}}}\mathit{\Gamma }_{\mathit{\bar \Theta }}^{ - 1}\Delta \mathit{\hat \Theta \Lambda }} \right) $

(26)

式中${\mathit{\Gamma }_{\mathit{\hat \Theta }}} = \mathit{\Gamma }_{\mathit{\hat \Theta }}^{\rm{T}} > 0$代表自适应率，P_ref = P_ref^T > 0是下式代数李雅普诺夫方程唯一的对称正定解

$ A_{{\rm{ref}}}^{\rm{T}}{P_{{\rm{ref}}}} + {P_{{\rm{ref}}}}{A_{{\rm{ref}}}} = - {Q_{{\rm{ref}}}} $

(27)

式中Q_ref = Q_ref^T > 0。

对式(26)求时间微分并依据矢量迹恒等式推导得

$ \mathit{\dot V}\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) = - {e^{\rm{T}}}Qe + 2tr\left( {\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\left\{ {\mathit{\Gamma }_\mathit{\Theta }^{ - 1}\mathit{\dot {\hat \Theta} } - \mathit{\Phi }\left( x \right){e^{\rm{T}}}PB} \right\}\Lambda } \right) + 2{e^{\rm{T}}}P\xi \left( t \right) $

(28)

为了证明$\dot V(e, \Delta \mathit{\hat \Theta })$的一致最终有界性，选取

$ \mathit{\dot {\hat \Theta} } = {\rm{Proj}}\left( {\mathit{\hat \Theta ,}{\mathit{\Gamma }_\mathit{\Theta }}\mathit{\Phi }{e^{\rm{T}}}PB} \right) $

(29)

则满足

$ tr\left\{ {\left( {\Delta {\mathit{\Theta }^{\rm{T}}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_\mathit{\Theta }^{ - 1}\underbrace {\mathit{\dot {\hat \Theta} }}_{{\rm{Proj}}} - \mathit{\Phi }\left( x \right){e^{\rm{T}}}PB} \right]\Lambda } \right.} \right\} $

(30)

引理1对于任意的对称正定矩Γ∈ R^{n × n}，有

$ {\left( {\theta - {\theta ^ * }} \right)^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}^{ - 1}}{\rm{Proj}}\left( {\theta ,\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}} \right) - y} \right) \le 0 $

(31)

根据上述引理得

$ \sum\limits_{j = 1}^m {\underbrace {\left( {{\rm{\hat \Theta }} - \mathit{\Theta }} \right)_j^{\rm{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_{\rm{\Theta }}^{ - 1}{\rm{Proj}}\left( {\mathit{\hat \Theta ,}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_{\rm{\Theta }}}\mathit{\Phi }{e^{\rm{T}}}PB} \right) - \mathit{\Phi }{e^{\rm{T}}}PB} \right)}_{ \le 0}} \underbrace {{\lambda _j}}_{ \ge 0} \le 0 $

(32)

通过射影算子凸不等式特性，保证了自适应参数每一列矩阵的一致有界性。同时由式(28)可得

$ \begin{array}{l} \mathit{\dot V}\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) \le - {e^{\rm{T}}}Qe + 2{e^{\rm{T}}}P\xi \left( t \right) \le \\ - {\lambda _{\min }}\left( Q \right){\left\| e \right\|^2} + 2\left\| e \right\|{\lambda _{\max }}\left( P \right){\xi _{\max }} = \\ - {\lambda _{\min }}\left( Q \right)\left\| e \right\|\left( {\left\| e \right\| - 2\frac{{{\lambda _{\max }}\left( P \right){\xi _{\max }}}}{{{\lambda _{\min }}\left( Q \right)}}} \right) \end{array} $

通过上述推导可看出在以下紧集

$ \mathit{\Omega = }\left\{ {\left( {e,\Delta \mathit{\Theta }} \right) \in {R^n} \times {R^{N \times n}}:\left\| e \right\| \le 2\frac{{{\lambda _{\max }}\left( P \right){\xi _{\max }}}}{{{\lambda _{\min }}\left( Q \right)}}\mathit{\Lambda }{{\left\| {\Delta \mathit{\Theta }} \right\|}_{\rm{F}}} \le \Delta {\mathit{\Theta }_{\max }}} \right\} $

(33)

的外部，使得$\dot V(e, \Delta \Theta) < 0$。上述证明有效地改善了式(6)，(7)给出的传统自适应律设计方法对干扰存在时系统不稳定的缺点。

最终通过上述自适应律的推导，确定自适应增广分量为

$ {u_{{\rm{ad}}}} = - {{\mathit{\dot {\hat \Theta} }}^{\rm{T}}}\mathit{\bar \Phi }\left( {{u_{{\rm{bl}}}},{x_{\rm{p}}}} \right) $

(34)

总控制输入为

$ u = {u_{{\rm{bl}}}} + {u_{{\rm{ad}}}} = \underbrace { - K_x^{\rm{T}}x}_{{u_{{\rm{bl}}}} = {\rm{based}}} + \underbrace {\hat K_{\rm{u}}^{\rm{T}}{u_{{\rm{bl}}}} - {{\mathit{\dot {\hat \Theta} }}^{\rm{T}}}\mathit{\Phi }\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)}_{{u_{{\rm{ad}}}} = {\rm{sadaptive}}\;{\rm{augmented}}} $

(35)

式中${{\mathit{\dot {\hat \Theta} }}^{\rm{T}}}$中由射影算子确定。

通过以上基于射影算子的模型参考自适应控制器设计，可以有效地提高传统自适应控制方法在多变量系统应用中的鲁棒性。

4 变循环航空发动机控制器设计

以某型双转子、双涵道混合排气式变循环航空发动机作为研究对象，图 5为发动机结构示意图。

可以看出，变循环航空发动机主要结构包括：前级风扇(Fan)、核心级风扇(CDFS)、压气机(Compres⁃ sor)、涡轮(Turbine)，同时增加了前涵道可调面积引射器(FVABI)、后涵道可调面积引射器(RVABI)以及模式选择活门(MSV)等多个可调变量，因此变循环航空发动机的控制方法必须解决更为复杂的多变量控制问题。

由于变循环发动机工作包线较传统发动机更宽，引起环境条件如大气温度、大气条件和大气湿度在更大的范围内随机变化，同时，变循环发动机通过外涵道的若干活门调节气流分配以使发动机工作在最优状态，但是更高的空中巡航任务迫使发动机长时间工作在外界气流更加稀薄的环境中，影响了进气空气的分配，使发动机涵道比不在要求范围变化，进而对发动机状态产生了随机干扰，影响了系统的最优工作等，因此变循环航空发动机的外部干扰具有较为复杂的随机未知干扰。此处建立存在干扰下的变循环航空发动机多入多出非线性系统

$ \begin{array}{l} {{\dot x}_{\rm{p}}} = {A_{\rm{p}}}{x_{\rm{p}}} + {B_{\rm{p}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {u + f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) + \xi \left( t \right)\\ y = {C_{\rm{p}}}{x_{\rm{p}}} + {D_{\rm{p}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {u + f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right)} \right) \end{array} $

(36)

式(36)中，Λ ∈ R^{m × m}为常量不确定性矩阵，它是具有严格正对角元素λ_i的未知对角矩阵，f(x_p)为系统匹配建模不确定性，ξ(t)为外部未知干扰。

其中，对于不确定建模有多种方法，如：线性不确定模型、多凸不确定模型、辨识不确定模型等。本文重点研究控制系统对随机外部干扰的鲁棒性能，因此认为变循环航空发动机建模不确定性f(x_p)是主要工作状态参数的线性组合，从不确定性的幅值上给出合理的仿真假设，因此建立线性不确定模型

$ f\left( {{x_{\rm{p}}}} \right) = m\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\rm{L}}}}\\ {{n_{\rm{H}}}}\\ {{T_4}} \end{array}} \right) $

(37)

式中m为变循环航空发动机建模不确定性区间范围，本文取m = 0.5。因为发动机模型的精度一般在5%以内，且对于建模误差、性能退化等产生的结构变化以及参数摄动等引起的建模不确定范围不会产生50%以上的状态参数变化，此处给出了较大的范围进行模拟。

依据图 6给出的变循环航空发动机的飞行包线划分结果，选取多个状态点作为典型标称点设计控制器。

以飞行条件为：H = 0km，Ma = 0，n_L = 88%为仿真算例。此条件下变循环航空发动机的小偏离相对增量形式线性数学模型为

$ \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot n}_{\rm{L}}}}\\ {{{\dot n}_{\rm{H}}}}\\ {{{\dot T}_4}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1.1}&{0.9553}&{0.6775}\\ { - 0.1023}&{ - 3.4504}&{ - 0.7}\\ { - 17.2543}&{ - 12.5625}&{ - 34.4917} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\rm{L}}}}\\ {{n_{\rm{H}}}}\\ {{T_4}} \end{array}} \right] + \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1818}&{0.2178}&{ - 0.1442}\\ {0.5402}&{0.4280}&{0.2174}\\ {19.9811}&{6.3645}&{1.3267} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {w_{\rm{f}}}\\ {A_8}\\ {A_{{\rm{fvabi}}}} \end{array} \right] \end{array} $

(38)

$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {n_{{\rm{l,cor}}}}\\ EPRS\\ LEPR \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {1.1688}&{ - 1.184}&{ - 0.2638}\\ {0.5903}&{ - 1.3967}&{ - 0.2334} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\rm{L}}}}\\ {{n_{\rm{H}}}}\\ {{T_4}} \end{array}} \right] + \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ {0.3900}&{ - 0.7974}&{0.1511}\\ { - 0.1472}&{0.5297}&{ - 0.1235} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {w_{\rm{f}}}\\ {A_8}\\ {A_{{\rm{fvabi}}}} \end{array} \right] \end{array} $

(39)

建立存在干扰时的动态微分方程为

$ \begin{array}{l} \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot n}_{\rm{L}}}}\\ {{{\dot n}_{\rm{H}}}}\\ {{{\dot T}_4}} \end{array}} \right]}_{{{\dot x}_{\rm{p}}}} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1.1}&{0.9553}&{0.6775}\\ { - 0.1023}&{ - 3.4504}&{ - 0.7}\\ { - 17.2543}&{ - 12.5625}&{ - 34.4917} \end{array}} \right]}_{{A_{\rm{p}}}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\rm{L}}}}\\ {{n_{\rm{H}}}}\\ {{T_4}} \end{array}} \right]}_{{x_{\rm{p}}}} + \\ \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1818}&{0.2178}&{ - 0.1442}\\ {0.5402}&{0.4280}&{0.2174}\\ {19.9811}&{6.3645}&{1.3267} \end{array}} \right]}_{{B_{\rm{p}}}}\underbrace {\left[ \begin{array}{l} {w_{\rm{f}}}\left( t \right)\\ {A_8}\left( t \right)\\ {A_{{\rm{fvabi}}}}\left( t \right) \end{array} \right]}_u + \\ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}m\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\rm{L}}}}\\ {{n_{\rm{H}}}}\\ {{T_4}} \end{array}} \right) + \xi \left( t \right) \end{array} $

式中，ξ(t)表示所添加的外界干扰，通过对三个回路添加随机百分比的白噪声信号模拟。利用式(10)对其增广得变循环航空发动机增广开环动态为

$ \underbrace {\left[ \begin{array}{l} {{\dot e}_{{n_{\rm{L}}}I}}\\ {{\dot e}_{{n_{\rm{H}}}I}}\\ {{\dot e}_{{T_{\rm{4}}}I}}\\ {{\dot x}_{\rm{p}}} \end{array} \right]}_x = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{0_{3 \times 3}}}&{{C_{\rm{p}}}}\\ {{0_{3 \times 3}}}&{{A_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_A\underbrace {\left[ \begin{array}{l} {e_{{n_{\rm{L}}}I}}\\ {e_{{n_{\rm{H}}}I}}\\ {e_{{T_{\rm{4}}}I}}\\ {x_{\rm{p}}} \end{array} \right]}_x + \underbrace {\left[ \begin{array}{l} {0_{3 \times 3}}\\ {B_{\rm{p}}} \end{array} \right]}_A\underbrace {\left[ \begin{array}{l} {q_{{\rm{m,f}}}}\left( t \right)\\ {A_{\rm{8}}}\left( t \right) \end{array} \right]}_u \\ + \underbrace {\left[ \begin{array}{l} - {I_{3 \times 3}}\\ {0_{3 \times 3}} \end{array} \right]}_{{B_{{\rm{ref}}}}}\underbrace {\left[ \begin{array}{l} {n_{{\rm{Lcmd}}}}\\ {n_{{\rm{Hcmd}}}}\\ {T_{{\rm{4cmd}}}} \end{array} \right]}_{{r_{{\rm{cmd}}}}} + \xi \left( t \right) $

$ y = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{0_{3 \times 3}}}&{{C_{\rm{p}}}} \end{array}} \right]}_Cx + {D_{\rm{p}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {u + f\left( x \right)} \right) $

所设计的LQR基准控制器的参数Q，R如下式所示

$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2800}&0&0&0&0&0\\ 0&{1200}&0&0&0&0\\ 0&0&{1500}&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&{10}&0\\ 0&0&0&0&0&{10} \end{array}} \right),\mathit{\boldsymbol{R}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right) $

表 1给出H = 0km，Ma = 0，n_L = 88%变循环自适应增广参数。

采用插值方法进行变循环航空发动机增益调度控制系统设计。根据飞行高度和飞行速度确定当前所处于的飞行条件领域(每一个飞行条件领域定义为ΔH < 2km，ΔMa < 0.2)，本文按图 6所示的飞行包线结果，在每个高度、马赫数飞行区域内，按低压转子转速进行控制器参数的调度，进而确定控制器参数值^{[19, 20]}。

5 仿真结果分析

通过上述分析，对某型双转子、双涵道混合排气式变循环航空发动机存在外部随机干扰噪声信号时，进行基于射影算子的多变量鲁棒自适应控制器仿真分析。

图 7~9给出了H = 0km，Ma = 0，n_L = 88%时，未加干扰的单位阶跃指令下的输出仿真结果。

可以看出，系统不存在干扰时，所设计的基于射影算子的多变量鲁棒自适应控制器有效地实现了调节主燃油流量、喷管喉道面积以及后涵道引射器面积的变循环航空发动机多变量控制，稳态控制误差不大于0.3%，超调量不大于1%，动态调节时间不大于1.2s，且实际输出对参考指令的跟踪误差不大于0.3%，所有控制指标均满足航空发动机控制系统的技术指标要求。

进而，引入4%幅度的随机噪声信号，与图 1所给出的随机噪声信号一致，分别对变循环航空发动机不同状态点进行仿真分析，此处给出状态点为H = 0km，Ma = 0，n_L = 88%与H = 2 km，Ma = 0.8，n_L = 90%时的仿真结果。

图 10~13分别给出了H = 0km，Ma = 0，n_L = 88%的单位阶跃指令下的仿真结果。

图 14~17分别给出了H = 2 km，Ma = 0.8，n_L = 90%的单位阶跃指令下的仿真结果。

可以看出，基于射影算子的多变量鲁棒自适应控制器很好地抑制了外部随机干扰，解决了小节2指出的传统自适应控制方法无法实现外部干扰的鲁棒性问题。同时，通过各状态点的仿真结果可以看出，存在外部干扰时各状态点均具有较好的控制效果，稳态控制误差均不大于0.5%，超调量均不大于1%，动态调节时间均不大于1.2s，且动态跟踪误差均不大于0.5%。引入外部干扰后，对系统的稳态控制精度和动态跟踪精度产生了一定影响，但是所有控制指标仍满足航空发动机控制系统的技术指标要求，如：超调量小于1%，加速时间小于1.2s，稳态误差小于0.8%，跟踪误差小于0.8%等要求。

因此，提出的基于射影算子自适应律的鲁棒自适应控制器能够实现变循环航空发动机全包线控制，满足航空发动机控制系统的控制指标要求。

同时，图 18和图 19给出了射影范围分别在1和0.5时的自适应参数变化曲线，表明射影算子的最大范围选取决定了自适应参数的变化频率与变化幅度，当范围较小即小射影范围域时，系统的自适应律参数变化幅度较大，频率较小。且在仿真过程中可以得到，射影算子能够影响系统的仿真结果，且小射影范围有可能造成性能下降且出现参数剧烈震荡现象。因此，对于变循环航空发动机这一多变量控制系统来讲，后续有必要开展相关最优射影范围研究。

6 结论

通过上述研究得到以下结论：

(1) 当任意大的外部干扰存在时，传统自适应律无法保证状态误差动态方程的负半定性。

(2) 通过引入射影算子将自适应参数限制在设定的凸集范围内，以保证系统的一致有界性，当存在不同幅度的随机噪声干扰时，控制系统有效抑制了干扰，达到了期望控制效果。

(3) 在LQR基准控制器下，设计的基于射影算子的多变量鲁棒自适应控制器在引入不同随机噪声干扰后，变循环航空发动机不同状态点均具有良好的静、动态特性。稳态误差均不大于0.5%，超调量均不大于1%，动态调节时间均不大于1.2s，且动态跟踪误差均不大于0.5%，满足航空发动机控制系统的技术指标要求。

通过研究结果表明，在射影算子设计的自适应律基础上，设计的多变量鲁棒自适应控制器能够使系统具有优良的跟踪能力，实现了变循环航空发动机存在外部干扰时的多变量控制及动态跟踪。基于射影算子的自适应律设计方法存在最优射影范围的设计问题，后续可深入开展相关研究。