1 引言

航空发动机是典型的非线性系统^[1]，其控制算法通常采用传统变增益控制，即对发动机非线性部件级模型在多个工作点上线性化，得到线性模型并分别设计控制器，根据运行时的参数轨迹切换到相应的控制器上，或通过对局部控制器插值的方法得到全局控制器^[2]。传统的变增益控制目前虽然在工程中广泛应用，但难以从理论上保证在整个工作区间内的鲁棒性，同时这种控制方法立足于设计点附近的线性时不变模型，要求系统参数不能变化过快，这显然不能满足发动机参数大范围剧烈变化的要求^{[3, 4]}。此外，传统变增益控制多基于试凑法得出，计算量大，十分费时。

线性变参数(Linear Parameter Varying，LPV)是一种新颖的变增益设计方法，在航空航天领域中被广泛的应用^[5]。该方法通过在线可测量或可估计的参数来确定系统的状态空间矩阵，从而体现了系统的时变特性，同时，结合线性控制理论的方法来设计变增益控制器，实现了控制器增益随在线可测的调度参数变化而变化，能够从理论上保证系统在整个参数轨迹上的鲁棒性以及全局稳定性^[6]。这种变增益方法被广泛应用于飞机、导弹、卫星等航空航天系统的控制器设计研究中^[7~11]。但是，对于一个参数变化范围大的LPV系统来说，往往需要牺牲一些子区域的性能来保证在整个参数区间存在一个单一的LPV控制器。针对这样一个问题，一个可行的方法是设计一组LPV控制器，每个控制器对应一个特定的子区域，通过各个LPV控制器间的切换来保证整个区域的性能要求^[12]。这种控制方法称为LPV切换控制。Lu等通过参数依赖Lyapunov函数求取切换LPV控制器，并对滞后切换和平均驻留时间切换时的稳定性进行了证明^[13]，同时该作者在文献[14]中提出一种基于状态重置的切换LPV控制方法，利用状态重置保证切换前后Lyapunov函数非增，从而保证闭环切换系统的稳定性，并将其应用于F-16飞机进行仿真验证。张增辉等将多胞理论引入控制器求解，简化了控制器的求解过程，同时降低了系统的保守性^[15]。袁世春等采用滞后切换逻辑设计LPV切换控制器，忽略切换LPV系统相关导数项，建立船舶航速在高速和低速时的LPV航向鲁棒控制器^[16]。然而，这些方法虽可以保证切换时的稳定性，但忽略了切换时控制器可能存在跳变的问题。

针对上述问题，本文将滞后切换策略和共同二次Lyapunov函数相结合，提出了一种新的切换LPV控制方法。该方法通过滞后切换解决单一切换面频繁切换带来的抖振问题，同时针对局部重叠区域求取共同二次Lyapunov函数，使切换时参数变化更加平滑，降低切换时可能存在的跳变。具体步骤为首先将飞行包线划分为几个局部重叠的子区域，分别建立每个子区域的双层LPV模型，结合多胞系统相关理论给出了闭环切换LPV系统稳定的LMI条件，进而求出每个子区域对应的Lyapunov函数以及控制器，最后通过上述切换方法保证子系统间切换的稳定性。

2 切换LPV系统模型 2.1 单层LPV模型

航空发动机的非线性模型可以表示为

$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = f\left( {\mathit{\boldsymbol{ x}}, \mathit{\boldsymbol{ u}}} \right)}\\ {\mathit{\boldsymbol{ y}} = g\left( {\mathit{\boldsymbol{ x}}, \mathit{\boldsymbol{ u}}} \right)} \end{array}$

(1)

式中x为发动机的状态变量，u为发动机的控制变量，y为发动机的输出变量。

航空发动机动态特性随高压转子转速变化比较连续，故本节以高压转子转速作为调度参数，建立多项式依赖LPV模型为

$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol A}}\left( \theta \right){\mathit{\boldsymbol x}} + {\mathit{\boldsymbol B}}\left( \theta \right)u}\\ {{\mathit{\boldsymbol y}} = {\mathit{\boldsymbol C}}\left( \theta \right) {\mathit{\boldsymbol x}}} \end{array}$

(2)

式中${\mathit{\boldsymbol x}} = {\left[ {{\rm{\Delta }}{n_{\rm{L}}}\;\;{\rm{\Delta }}{n_{\rm{H}}}} \right]^{\rm{T}}}$分别为风扇转速增量和高压转子转速增量，u=ΔW_f为发动机燃油流量增量，y=Δn_H为发动机高压转子转速增量。

$\mathit{\boldsymbol{A}}\left( \theta \right) = \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\rm{d}}}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_i}{\theta ^i},\mathit{\boldsymbol{B}}\left( \theta \right)} = \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\rm{d}}}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}{\theta ^i}} ,\mathit{\boldsymbol{C}}\left( \theta \right) = \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\rm{d}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_i}{\theta ^i}} $

(3)

$\theta = \frac{{{n_{\rm{H}}} - {{({n_{\rm{H}}})}_{{\rm{min}}}}}}{{{{({n_{\rm{H}}})}_{{\rm{max}}}} - {{({n_{\rm{H}}})}_{{\rm{min}}}}}}$

(4)

式中N_d表示多项式阶次，[(n_H)_min   (n_H)_max]表示高压转子转速取值范围的最小值和最大值，θ为调度参数，变化范围[0  1]。

由式(2)~(4)可知，LPV模型的建立主要依据不同高压转子转速下的稳态点系统矩阵的拟合，而LPV模型的精度则取决于多项式模型的阶次N_d，阶次越高，建立的LPV模型精度越高，但会导致模型更加复杂，计算难度大。

本文选取N_d=3，以地面工作点H=0，Ma=0处为例建立航空发动机LPV模型，在高压转子转速的变化范围(n_H)_min=0.86, (n_H)_max=1内选取15个稳态工作点，对这些工作点进行插值拟合得到LPV系统矩阵模型为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{A}}\left( \theta \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1.58}&{ - 1.77}\\ {0.03}&{ - 0.19} \end{array}} \right]{\theta ^3} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3.78}&{ - 11.57}\\ {0.15}&{ - 1.40} \end{array}} \right]{\theta ^2} + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.53}&{ - 4.32}\\ {0.01}&{ - 3.67} \end{array}} \right]\theta + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6.36}&{3.67}\\ { - 0.41}&{ - 4.41} \end{array}} \right]} \end{array} $

(5)

$\mathit{\boldsymbol{B}}\left( \theta \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.06}\\ { - 0.01} \end{array}} \right]{\theta ^3} + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.39}\\ {0.04} \end{array}} \right]{\theta ^2} + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.38}\\ {0.17} \end{array}} \right]\theta + \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.46}\\ {0.45} \end{array}} \right]$

(6)

$\mathit{\boldsymbol{C}}\left( \theta \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]$

(7)

式(5)，(6)中各系数的拟合结果如图 1中所示，其中虚线为不同稳态点下高压转子转速拟合点的连接线，实线为最终得到的拟合曲线。

为验证得到的单层LPV模型的精度，本文以(0，0)，(10，1)两个工作点为例，分别在n_H=0.9，n_H=0.95两个高压转子转速下将LPV模型转换为相应转速下的线性模型，将该线性模型的阶跃响应与同一高压转子转速下非线性模型的阶跃响应作对比如图 2~图 3中所示。

由图 2，图 3可知，在不同工作点处单层LPV模型的阶跃响应均能很好地拟合非线性模型的阶跃响应，稳态误差小于0.1%，说明在调度参数变化范围内设计的LPV模型与非线性模型有较高的匹配度，能够满足建模精度的要求。

2.2 双层LPV模型

航空发动机的动态特性不仅随高压转子转速变化而变化，还会受到高度和马赫数的影响^[17]，不同高度、马赫数下发动机动态特性差异很大，以n_H=0.9为例，系统矩阵A(θ)中各元素随高度、马赫数的变化趋势如图 4所示。

若建立传统的多调度参数LPV模型，则调度参数θ需同时考虑高压转子转速、高度和马赫数的变化，不同的调度参数变化规律不同，甚至互相之前存在矛盾，如果同时处理这些调度参数的变化趋势，不但计算复杂，保守性大，而且最终拟合出的LPV模型也很难达到精度的要求。因此，本文在单层LPV模型的基础上，结合多胞系统相关理论提出一种双层LPV模型。该方法首先通过多项式拟合的方法求取每个多胞顶点上随高压转子转速变化的单层LPV模型，然后根据每个顶点对应的权重系数对多胞系统不同顶点的单层LPV模型进行插值，获得随高度和马赫数变化的多胞LPV模型，即双层LPV模型。

根据非线性模型式(1)建立的双层LPV模型如下

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{A}}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{x}} + \mathit{\boldsymbol{B}}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{u}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{C}}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{x}}} \end{array} $

(8)

式中

$ \mathit{\boldsymbol{A}}(\alpha ) = {a_3}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}){\theta ^3} + {a_2}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}){\theta ^2} + {a_1}(\mathit{\boldsymbol{\rho }})\theta + {a_0}(\mathit{\boldsymbol{\rho }}) $

(9)

α=(θ, ρ)，θ为第一层LPV模型调度参数n_H；ρ为第二层LPV模型调度参数[H  Ma]^T。(θ, ρ)∈P⊂R³，P为系统变参数区域。其余矩阵B(α), C(α), D(α)表达式同式(9)类同。x，u，y的含义与式(1)中相同。

系统式(8)中调度参数变化范围可表示为

$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varTheta} }} = \left\{ {\left. {\left( {\theta , \mathit{\boldsymbol{\rho }}} \right)} \right|{g_i}\left( {\left[ {\theta , \mathit{\boldsymbol{\rho }}} \right]} \right) \ge 0, i = 1, 2 \ldots n} \right\}$

(10)

式中g_i(θ, ρ)为关于调度参数(θ, ρ)的多项式，n表示多项式不等式个数。

将式(8)中发动机双层LPV模型展开，每个顶点处对应的高度和马赫数下的第一层LPV模型形式如下

$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\widetilde \varPsi} }}\left( {\theta ,\widetilde \rho } \right) = \sum\limits_{k = 0}^{{N_{\rm{d}}}} {\left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_k}\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{B}}_k}\\ {\mathit{\boldsymbol{C}}_k}\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{D}}_k} \end{array} \right]} {\theta ^k} $

(11)

式中$\widetilde \rho $表示飞行区域顶点处对应的高度和马赫数，N_d表示该顶点处第一层LPV模型的多项式阶次，A_k, B_k, C_k, D_k表示阶次k对应的系数矩阵。

第一层LPV模型反映了每个顶点对应的高度和马赫数下，发动机动态特性随转速的变化趋势。将各个顶点处的第一层LPV模型相结合，即可得到第二层LPV模型为

$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}\left( {\theta , \mathit{\boldsymbol{\rho }}} \right) = \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{v}}}} s\left( {\widetilde \rho } \right)\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\widetilde \varPsi} }}\left( {\theta , \widetilde \rho } \right) $

(12)

式中N_v表示飞行区域内的顶点数，s(${\widetilde \rho }$)表示每个顶点处对应的权重系数。

s(${\widetilde \rho }$)的求取方法有多种，本文采取基于参数几何位置的方法求取^[18]，这种方法表达直观，计算简单。其具体步骤为：首先计算工作点与各个飞行顶点间的几何距离，进而求取这些几何距离之和与单点距离的商，称作分解距离，最后，根据分解距离求得s(${\widetilde \rho }$)的表达式

$ s{\left( {\widetilde \rho } \right)_j} = \frac{{{d_j}}}{{{d_1} + {d_2} + \cdots + {d_n}}} $

(13)

式中${d_j} = \frac{{{l_1} + {l_2} + \cdots + {l_n}}}{{{l_j}}}$表示分解距离，l_j表示当前工作点与第j个飞行顶点间的几何距离。

选取飞行包线中顶点为(0，0)，(4，0)，(5，0.5)，(0，0.5)的一个子区域，建立该区域航空发动机随高压转子转速、高度和马赫数变化的双层LPV模型。以子区域内工作点(2，0.3)和子区域边界上工作点(3，0.5)为例进行仿真验证。在高压转子转速n_H=0.9和n_H=0.95下将双层LPV模型转换为相应转速下的线性模型，将该线性模型的阶跃响应与同一高压转子转速下非线性模型的阶跃响应作对比，如图 5，图 6所示。

由图 5，图 6可知，在高度马赫数相同的条件下，双层LPV模型的阶跃响应能够很好地拟合非线性模型的阶跃响应，稳态误差小于0.1%，说明在调度参数变化范围内设计的双层LPV模型与非线性模型有较高的匹配度，能够满足建模精度的要求。

3 全包线切换LPV控制

针对上文所建立的双层LPV模型，设计状态反馈控制器，使转速闭环控制系统的高压转子转速可以较快的跟踪指令信号，同时H_∞性能指标小于γ_∞。考虑航空发动机存在外部扰动，则LPV系统为

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_{\rm{p}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{p}}}\left( \alpha \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{p}}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{p}}1}}\left( \alpha \right){\omega _{\rm{p}}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{p}}2}}\left( \alpha \right){u_{\rm{p}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{y}}_{\rm{p}}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{p}}}\left( \alpha \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{p}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{p}}1}}\left( \alpha \right){\omega _{\rm{p}}}} \end{array}$

(14)

式中x_p, u_p, y_p同式(1)中x, u, y，ω_p为外部扰动输入。

设控制指令为r，则输出偏差为e=r-y_p，偏差的积分为x_e=∫e，将偏差的积分增广为状态量以消除系统的稳态误差。得到广义被控对象的状态方程为

$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}} = \mathit{\boldsymbol{A}}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{\bar x}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}\left( \alpha \right)\omega + {\mathit{\boldsymbol{B}}_2}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{u}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{z}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{\bar x}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{11}}\left( \alpha \right)\omega } \end{array}$

(15)

式中

$\begin{array}{c} \mathit{\boldsymbol{\bar x}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{\rm{p}}}}\\ {{x_{\rm{e}}}} \end{array}} \right], \;\mathit{\boldsymbol{u}} = {u_{\rm{p}}}, \;\mathit{\boldsymbol{z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{\rm{e}}}}\\ e \end{array}} \right], \;\mathit{\boldsymbol{\omega }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\omega _{\rm{p}}}}\\ r \end{array}} \right]\\ \mathit{\boldsymbol{A}}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{\rm{p}}}\left( \alpha \right)}&0\\ { - {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{p}}}\left( \alpha \right)}&0 \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{p}}1}}\left( \alpha \right)}&0\\ { - {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{p}}1}}\left( \alpha \right)}&\mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_2}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{p}}2}}\left( \alpha \right)}\\ { - {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{p}}2}}\left( \alpha \right)} \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&\mathit{\boldsymbol{I}}\\ { - {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{p}}}\left( \alpha \right)}&0 \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{D}}_{11}}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ { - {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{p}}1}}\left( \alpha \right)}&\mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right] \end{array}$

针对系统(15)设计状态反馈控制律u=K(α)x，可得系统的闭环状态空间方程为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right)\bar x + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right)\omega }\\ {\mathit{\boldsymbol{z}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right)\bar x + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right)\omega } \end{array} $

(16)

式中

$ \begin{array}{c} {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right) = \mathit{\boldsymbol{A}}\left( \alpha \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_2}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{K}}\left( \alpha \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}\left( \alpha \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{cl}}}}\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\left( \alpha \right), \;\;\;{\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{cl}}}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_{11}}\left( \alpha \right) \end{array} $

3.1 滞后切换

航空发动机在不同高度、马赫数下动态特性差异很大，若在全包线内只设计一个状态反馈LPV控制器会带来很大的保守性，难以满足包线内所有区域的控制效果。因此，本文将飞行包线划分为Z_N={1, 2, …, N}个子区域，每两个相邻的子区域间有局部重叠的部分，即

$\vartheta = \mathop \cup \nolimits {\left\{ {{\vartheta _i}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$

(17)

式中ϑ∈R^1×2表示飞行包线内所有高度、马赫数的集合，且ρ∈ϑ。ϑ_i表示子区域P_i内所有高度、马赫数的集合。设ϑ_v∈R^1×2，表示飞行包线内所有顶点的高度、马赫数的集合，则

${\vartheta _{\rm{v}}} = \mathop \cup \nolimits {\left\{ {{\vartheta _{{\rm{v}}, i}}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$

(18)

式中ϑ_{v, i}表示子区域P_i内所有顶点高度、马赫数的集合。

当采用滞后切换逻辑时，如图 7所示，两个相邻的子区域有局部重叠的部分，每个局部重叠区域存在两个切换面。用S_ij表示从子区域P_i到P_j的切换面。

当参数轨迹穿过切换面S_ij或S_ji时切换发生，切换信号的变化过程如下

若α(0)∈P_i，σ(0)=i，对所有t > 0，如果α(t)∈P_i且σ(t^-)=i，则σ(t)=i未穿过切换面。如果α(t)∉P_i，α(t)∈P_j且σ(t^-)=i，则σ(t)=j穿过切换面S_ij。σ(t)表示系统的切换信号，本文中σ(t)的变化受高度和马赫数影响。

因为σ(t)在参数轨迹经过相邻子系统P_i和P_j的重叠区域之后变化，避免了频繁切换带来的抖振问题^[19]。但未考虑到因为切换面的不同，切换时Lyapunov函数的非连续性导致控制器参数和被控参数存在跳变的问题。本文将滞后切换应用在基于双层LPV模型的切换控制中，提出一种改进的滞后切换控制方法。该方法依靠双层LPV模型自身的特点，首先对局部重叠区域内所有顶点处的单层LPV模型求取共同Lyapunov函数，然后用求得的共同Lyapunov函数替换原系统局部重叠区域内各个顶点处的Lyapunov函数，将共同Lyapunov函数的保守性限制在局部重叠区域内的同时保证了切换时Lyapunov函数的连续性，最终解决切换时存在跳变的问题。

3.2 包线区域划分

在设计切换LPV控制器前，首先应对飞行包线进行划分。而划分飞行包线的首要依据是使子系统内建立的双层LPV模型精度达到要求，这就需要保证同一子系统内发动机的动态特性尽可能相同。当发动机在一定转速下工作时，其动态特性仅与不同高度、马赫数下的进口条件有关，发动机的状态空间模型受进口条件影响^[20]。但若直接以高度、马赫数来划分包线，会造成某些区域模型精度较高，而另一些区域模型精度较低。故可以通过下式来量化不同模型间的差异

$J = \sqrt {{{\left( {\frac{{{T_1} - {T_{10}}}}{{{T_{10}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{p_1} - {p_{10}}}}{{{p_{10}}}}} \right)}^2}} < \varepsilon $

(19)

式中T₁₀, p₁₀为标称点总温、总压；T₁, p₁为工作点的总温、总压；ε为距离阈值，反映了子区域间不同工作点发动机动态性能的差异。与直接采用H-Ma划分包线区域的方法相比，采用T₁-p₁划分包线区域的方法能更直接而充分地反映发动机内部状态参数的变化^[21]。

本文以包线内总温、总压均最小的(10，2)为标称点，分别选取ε=0.4和ε=0.8，将包线划分为如图 8所示三个区域，每相邻两个区域间有局部重叠的部分。

3.3 切换LPV控制器设计

为缓解控制器间邦邦切换产生的抖振现象，同时消除切换时可能存在的跳变，本文基于共同Lyapunov函数设计一种改进的滞后切换LPV控制器。

考虑切换LPV系统闭环状态空间方程

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right)\bar x + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right)\omega }\\ {\mathit{\boldsymbol{z}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right)\bar x + {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right)\omega } \end{array} $

(20)

式中

$\begin{array}{c} {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{1, \sigma }}\left( \alpha \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2, \sigma }}\left( \alpha \right){\mathit{\boldsymbol{K}}_\sigma }\left( \alpha \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}_{, \sigma }\left( \alpha \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{C}}_{{\rm{cl}}, \sigma }}\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{C}}_{1, \sigma }}\left( \alpha \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{D}}_{{\rm{cl}}, \sigma }} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_{11, \sigma }}\left( \alpha \right) \end{array}$

调度参数α含义同式(8)中相同。σ的变化受高度和马赫数影响，由于高度和马赫数具有渐变特性，所以切换只发生在子区域边界处。

引理1^[22]：考虑切换LPV系统

$\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_i}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{x}}$

(21)

式中i∈{1, 2, …, n}为分段常值函数，对于系统(21)，若存在正定实数矩阵X，使得对所有的α∈Θ，矩阵不等式A_i(α)^TX+XA_i(a) < 0成立，则系统(21)在任意切换序列下渐进稳定。

引理1要求对于所有的α∈Θ，都存在一个相同的Lyapunov函数，这种方法虽然计算简单，但是保守性大，当调度参数变化范围大时，很难得到满足要求的解，如果对于不同的α∈Θ存在不同的Lyapunov函数，则可以降低引理1中的保守性。

引理2^[23]：对于系统(21)，若存在正定实数矩阵X_i(α)，使得对所有的α∈Θ，矩阵不等式

$ \mathit{\boldsymbol{A}}{\left( \alpha \right)^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right){\rm{ + }}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{A}}\left( a \right) + \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right)}}{{{\rm{d}}t}} < 0 $

(22)

成立，则系统(21)渐进稳定。

式中Lyapunov函数不依赖于时间t，故对任意α∈Θ，$\frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right)}}{{{\rm{d}}t}}$=0。因此，矩阵不等式(22)等价于

$\mathit{\boldsymbol{A}}{\left( \alpha \right)^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right) + {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right)\mathit{\boldsymbol{A}}\left( a \right) < 0$

对于切换LPV系统，假设存在一组正定矩阵${\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( \alpha \right)} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，每个矩阵可以保证在其对应的子区域P_i变化的连续性。则多参数依赖Lyapunov函数可以写作

${\mathit{\boldsymbol{V}}_\sigma }\left( \alpha \right) = {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{cl}}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_\sigma }\left( \alpha \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{cl}}}}$

(23)

通过切换信号σ确定当前所处的子区域P_i以及对应的Lyapunov矩阵X_i(α)。

一般而言，如果有合适的切换逻辑保证V_σ(α)在其对应的子区域P_i内单调递减，则即使在整个参数轨迹上V_σ不是单调递减的，也可以保证切换LPV系统的稳定性。

定理1：针对切换LPV系统(20)，时变参数区域$P = \mathop \cup \nolimits {\left\{ {{P_i}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，$\tilde \alpha {\rm{ = }}\left( {\theta , \tilde \rho } \right)$，对于任意子区域P_i，给定H_∞性能指标γ_{∞, i}，参数集合ϑ及其子集${\left\{ {{\vartheta _i}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，如果存在实数对称矩阵${\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)} \right\}_{i \in {Z_N}}}$和实数矩阵${\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，使得下列不等式

$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)} \right)^{\rm{T}}}\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{B}}_{1, i}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)\mathit{\boldsymbol{C}}_{1, i}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{B}}_{1, i}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - {\mathit{\boldsymbol{\gamma }}_{\infty , i}}\mathit{\boldsymbol{I}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{D}}_{11, i}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_{1, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{D}}_{11, i}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\; - {\mathit{\boldsymbol{\gamma }}_{\infty , i}}\mathit{\boldsymbol{I}} \end{array} \right]\\ < 0 \end{array} $

对于所有$\tilde \rho \in {\vartheta _{v, i}}$成立，则航空发动机闭环切换系统渐进稳定，并满足给定的H_∞性能指标γ_{∞, i}。状态反馈控制器为K(α)=W(α)X(α)^-1。

由引理2可知，定理1中每个子系统具有各自的Lyapunov矩阵X_i(α)，X_i(α)同时受到两层LPV模型调度参数的影响，当采用滞后切换时，虽可保证整个切换LPV系统的稳定性，但由于切换时Lyapunov函数的不连续性，控制器参数和被控参数不可避免的会产生跳变，导致控制效果变差。因此，对定理1中内容进行推广，求取局部重叠区域内两子系统各顶点的共同二次Lyapunov函数，用求得的Lyapunov函数替换原子系统内的Lyapunov函数，通过这种方法，将共同二次Lyapunov函数的保守性限制在局部重叠区域内的同时，又可以消除切换时的跳变。

为方便阐述，选取飞行包线内相邻的两个局部重叠区域P_i，P_j，P_i-j表示局部重叠区域，P_i-表示子区域P_i中除局部重叠区域的部分，P_j-表示子区域P_j中除局部重叠区域的部分，N_c表示局部重叠区域内的顶点数，X_i-j($\widetilde \alpha $)表示局部重叠区域内各顶点的Lyapunov矩阵，s_i-j($\widetilde \rho $)表示局部重叠区域内各顶点的权重系数；P_i-和P_j-中其余各表达式同P_i-j中类同。

定理2：针对切换LPV系统(20)，时变参数区域$P = \cup {\left\{ {{P_i}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，$\tilde \alpha = \left( {\theta , \tilde \rho } \right)$，对于任意两个相邻子区域P_i，P_j，给定H_∞性能指标γ_{∞, i}，参数集合ϑ及其子集${\left\{ {{\vartheta _i}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，参数集合ϑ_v及其子集${\left\{ {{\vartheta _{v, i}}} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，如果存在实数对称矩阵${\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)} \right\}_{i \in {Z_N}}}$和实数矩阵${\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)} \right\}_{i \in {Z_N}}}$，使得下列不等式

$ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {({\mathit{\boldsymbol{A}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) + {\mathit{\boldsymbol{B}}_{2, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{W}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right))^{\rm{T}}}\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{B}}_{1, i}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)\mathit{\boldsymbol{C}}_{1, i}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{B}}_{1, i}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - {\mathit{\boldsymbol{\gamma }}_{\infty , i}}\mathit{\boldsymbol{I}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{D}}_{11, i}}^{\rm{T}}\left( {\tilde \alpha } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_{1, i}}\left( {\tilde \alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{D}}_{11, i}}\left( {\tilde \alpha } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - {{\mathit{\boldsymbol{\gamma }}} _{\infty , i}}\mathit{\boldsymbol{I}} \end{array} \right]\\ < 0 \end{array} $

(25)

$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right) = {\mathit{\boldsymbol{X}}_j}\left( {\tilde \alpha } \right) $

(26)

对于所有$\tilde \rho \in {\vartheta _{{\rm{v}}, i - j}}$成立，则航空发动机闭环切换系统渐进稳定，并满足给定的H_∞性能指标γ_{∞, i}。状态反馈控制器为K(α)=W(α)X(α)^-1。

证明：假设运行时间长度[0, T]内的切换时刻序列为t₀, t₁…t_N，并且t₀=0。在某一切换时刻t_k，σ(t_k)=i，σ(t_k⁺)=j，切换系统由子区域P_i切换到P_j。

根据式(11)，(12)可知

$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_k}} \right)}}\left( \alpha \right) = \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{v}}}} s\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {\tilde \alpha } \right)}\\ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_k}^ + } \right)}}\left( \alpha \right) = \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{v}}}} s\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_j}\left( {\tilde \alpha } \right)} \end{array}$

(27)

因两子区域各顶点处X_i${\left( {\tilde \alpha } \right)}$≠X_j(${\tilde \alpha }$)，故无法保证切换时Lyapunov函数值连续，切换时存在较大跳变。

根据式(26)可知，当${\tilde \rho }$∈ϑ_{v, i-j}时，X_i(${\tilde \alpha }$)=X_j(${\tilde \alpha }$)=X_i-j(${\tilde \alpha }$)，则X_σ(tk)(α)和X_σ(tk⁺)(α)可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_k}} \right)}}\left( \alpha \right) = \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{v}}} - {N_{\rm{c}}}} {s_{i - }}\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_{i - }}\left( {\tilde \alpha } \right) + \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{c}}}} {s_{i - j}}\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_{i - j}}\left( {\tilde \alpha } \right)}\\ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_k}^ + } \right)}}\left( \alpha \right) = \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{v}}} - {N_{\rm{c}}}} {s_{j - }}\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_{j - }}\left( {\tilde \alpha } \right) + \mathop \sum \limits^{{N_{\rm{c}}}} {s_{i - j}}\left( {\tilde \rho } \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_{i - j}}\left( {\tilde \alpha } \right)} \end{array} $

(28)

当切换系统无限接近切换面时s_i-j(${\tilde \rho }$) > > s_i-(${\tilde \rho }$)，s_i-j(${\tilde \rho }$) > > s_j-(${\tilde \rho }$)，则X_σ(tk)(α)与X_σ(tk⁺)(α)基本相等，极大地降低了切换时Lyapunov函数的不连续性。

同时当t∈[t_k⁺, t_k+1]时，σ(t)=j，根据式(25)可知，在此飞行区域下航空发动机闭环系统在Lyapunov意义下稳定。即

$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_{k + 1}}} \right)}}\left( \alpha \right) < {\mathit{\boldsymbol{X}}_{\sigma \left( {{t_k}^ + } \right)}}\left( \alpha \right) $

(29)

由上式可以看出，在航空发动机整个运行时间[0, T]内，各子区域P_i内Lyapunov函数单调递减，即系统能量逐渐降低，从而根据引理2可知切换闭环系统在整个运行轨迹上均稳定。

4 仿真验证与分析

针对某型涡扇发动机部件级模型，以上文所述切换LPV控制器进行闭环控制仿真。要求保证控制系统工作稳定的同时减小切换时的跳变，且稳态误差小于0.5%。

4.1 仿真分析1

在全包线内选定发动机的运行轨迹并进行切换控制的仿真验证。发动机运行轨迹经过图 5所示三个区域，具体的仿真结果如图 9~10所示。图 10为图 9中切换区域的局部放大图。

控制器在20s，31s，42.5s，50s发生切换时，四次切换发生在不同高压转子转速下，且31s的切换发生在阶跃响应过程中。由仿真结果可以看出，随着发动机高度和马赫数的变化，高压转子转速可以很好地跟踪指令信号，且动态响应性能良好。控制器能够稳定工作，且基本不存在跳变。

4.2 仿真分析2

仿真分析2分别对滞后切换，基于共同二次Lyapunov函数的切换以及本文提出的改进滞后切换方法作对比仿真验证。图 11为全包线内高度和马赫数的运行轨迹，图 12为几种切换方法的高压转子转速跟踪曲线。

由仿真结果可以看出，虽然三种切换控制方法均可保证系统的稳定性，但滞后切换在切换时存在一个明显的跳变，而共同二次Lyapunov函数的方法虽然跳变较小，但响应时超调量大。本文提出的改进滞后切换方法调节时间在2s左右，稳态误差小于0.5%，同时切换时基本不存在跳变。

4.3 仿真分析3

仿真分析3分别对单点H_∞控制器，全包线单一LPV控制器以及切换LPV控制器作对比仿真验证。以(10，1)为标称点设计单点H_∞控制器，分别针对三种方法在标称点和(1.5，15)两点处作高压转子转速的阶跃，控制效果如图 13~14所示。

由图 13可知，在标称点处三种控制器均有良好的控制效果，但全包线单一LPV控制器的动态响应时间相对较长。

而图 14中在远离标称点时H_∞控制方法存在0.5%左右的超调，全包线单一LPV控制方法和切换LPV控制方法都有较好的控制性能，其中切换LPV控制的响应更快。可见当远离标称点时，由于模型参数变化较大，H_∞控制方法无法满足参数摄动带来的影响，使得控制性能下降，而单一LPV控制方法由于需要满足更大的参数变化范围，故响应时间相对更长。

5 结论

本文针对航空发动机全包线控制器设计的问题，提出了一种基于双层LPV模型的切换控制方法，并在某型涡扇发动机进行仿真验证。该方法相比于全包线单一LPV控制器有更好的控制效果，可以保证大范围内系统的稳定性和鲁棒性。

(1) 本文提出的改进滞后切换控制方法具有很好的稳定性，可以精确地跟踪指令信号，稳态误差小于0.5%。同时切换时控制器参数跳变量小于0.1%，能够保证在整个飞行包线内切换系统具有良好的控制效果。

(2) 改进滞后切换控制方法相比于全包线单一LPV控制器和单点H_∞控制器保守型更小，在飞行包线内不同工作点处响应时间均在2s左右，且不存在超调。