1 引言

燃烧是航空航天动力装置的最重要过程之一，也是决定发动机性能的关键环节^[1]。推进装置内部燃烧过程的研究一直是推进技术领域的热点和难点^[2]。现有的激光诊断技术，如CARS，PIV和PLIF等，在一定程度上可以实现对发动机燃烧流场的高分辨率测量^[3~6]，但通常只能获得流场的二维断层信息，无法实现瞬时三维测量。此外，激光诊断技术还存在系统复杂、成本高昂和操作繁琐等问题，也限制了它在极端燃烧试验环境中的应用。

将火焰的化学发光特性与计算断层成像技术(Computed tomography，CT)相结合可以有效解决上述问题，实现对燃烧室内湍流燃烧过程的瞬时三维测量。火焰的化学发光特性是指由于化学反应过程形成了可辐射电子的激发态粒子而出现的光发射过程^[7]，它能直接表征燃烧室内的燃烧状态，对于研究燃烧室内的燃烧过程具有重要的意义。但对火焰化学发光的测量结果是沿光路在空间的积分效果，无法辨别火焰的空间结构^[8]。CT技术是指利用X射线穿透物体时的强度衰减特性进行重建获得物体断层结构信息的技术，能够获得被穿透物体的内部结构，但无法直接运用于火焰结构的测量。将火焰的化学发光特性与工业CT相结合，能有效克服它们各自的不足，形成一种新的火焰结构测量方式——化学发光计算断层成像技术(Computed tomography of chemiluminescence，CTC)。该技术首先利用相机捕捉火焰在多个角度下的实时化学发光投影，再通过图像重建算法精确重构出火焰的三维结构，实现对火焰结构的瞬时三维测量。利用计算机可视化软件对重建结果进行三维重现，可以更加直观地展示整个燃烧过程，加深对复杂燃烧机理的理解。

CTC为动力装置内复杂燃烧过程的研究提供了一种新的测量手段。该技术不需要昂贵的激光设备与复杂的激光光路，具有系统简单、成本低廉和使用条件相对宽松等优点，近年来获得了广泛关注与快速发展。Ishino等^[9]在40个投影角度下实现了微弱湍流非预混火焰化学发光场的高精度重建；Floyd等^{[10, 11]}采用CCD相机，利用不同数量的投影角度对湍流对冲射流火焰进行重建，分析并论证了稀疏角度下低成本火焰重建的可行性；文献[12, 13]在稀疏投影角度下对湍流火焰进行重建，成功捕获到火焰的主要结构特征，并对影响重建效果的诸多现实因素展开分析，取得显著成果；LV Liang等^[14]对不同射流速度和当量比下的氢气预混射流火焰进行重建，得到火焰结构与流速和当量比之间的变化关系。

然而，当前CTC中的图像重建算法主要是从医学图像重建领域发展而来的，而火焰重建与医学重建之间存在诸多不同：

(1) 重建对象的空间特性不同：医学待重建对象往往具有分片连续的特点，即图像内部分片函数值相等，而真实的火焰图像通常具有连续变化的图像函数。

(2) 重建对象的时间特性不同：医学重建对象相对稳定，而燃烧过程通常具有严重的瞬时性与不稳定性。

(3) 投影数量不同：医学重建对象的稳定性使得其可在多角度非同步投影重建，而燃烧过程的瞬时性则要求投影过程必须在不同角度下同步进行，因而极大的限制了投影角度数。

为进一步探究稀疏角度下火焰图像重建的算法适用性问题，本文基于真实火焰的结构特性对经典医学不完全角度迭代重建算法(ASD-POCS)进行改进，得到一种基于投影残差最小化的改进算法(Projection difference minimization，PDM)，并针对火焰结构特性提出一个具有连续变化梯度的Sine模型，对传统代数迭代算法ART，ASD-POCS算法和改进算法PDM在稀疏角度下的重建性能进行评估。在此基础上，利用上述三种算法对稳定二维预混火焰的OH*化学发光场进行重建，并与实际拍摄的图像进行对比，验证PDM算法在稀疏角度下对于火焰图像重建问题的适用性。

2 重建原理与算法

由CT原理可知，三维图像重建问题可理解为多层二维图像重建问题在第三个维度上的堆叠，与二维图像重建原理基本一致。因此，本文以二维图像重建为例，对迭代重建原理与算法进行研究。

2.1 重建基本原理

在稀疏投影角度下的二维图像重建问题实质上就是求解欠定线性系统的问题，即

$\mathit{\boldsymbol{p}} = \mathit{\boldsymbol{Mf}}$

(1)

式中M是m×n的权系数矩阵，且m < n；p是m维的投影数据列向量，m取决于投影角度数和每个投影角度下的光线数；f是n维图像列向量。权系数矩阵的任一元素M_ij表征着对应图像像素f_j对投影p_i的贡献值。图 1所示为平行束射线驱动投影原理示意图，穿过探测器单元中点的射线与图像像素边界相交于A，B，则权系数定义为射线与网格相交线段AB的长度。图像重建实质上就是将推导出的权系数矩阵M与CCD相机捕捉到的投影数据p代入到重建算法中反演出图像数据列向量f的一个过程。

2.2 图像重建算法

现有的图像重建算法主要分为两类：解析类算法和迭代类算法。当投影角度数较多时，使用解析类算法可以快速地得到高质量重建图像；但是当投影数据不足或投影角度分布不均时(统称为不完全角度问题)，解析类算法重建的图像将有大量的伪影，严重影响对重建对象内部结构的观察和定量描述。然而，使用迭代类算法处理上述问题，则可得到较高质量的重建图像，即迭代类算法更适合于求解不完全角度投影数据的图像重建问题。因此，在当前有关CTC的研究中，均采用迭代类算法进行火焰图像重建。

代数重建算法(ART)最早于20世纪30年代在求解相容性线性方程组时被提出，之后于20世纪70年代初被Gordon等引入图像重建领域^[15]。ART算法的基本思想是先赋予重建区域一个初值(一般为0)，再将所得到的投影值残差沿其射线方向逐个反投影回去，不断地校正图像函数值，直到满足迭代终止条件。经典的ART公式为

${\mathit{\boldsymbol{f}}^{\left( k \right)}} = {\mathit{\boldsymbol{f}}^{\left( {k - 1} \right)}} + \beta {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}^{\rm{T}}\frac{{{\mathit{\boldsymbol{p}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}\cdot{\mathit{\boldsymbol{f}}^{\left( {k - 1} \right)}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}\cdot{\mathit{\boldsymbol{M}}_i}^{\rm{T}}}}$

(2)

式中β为松弛因子，本文ART算法中的经验参数β=1.0。

此外，一系列改进的迭代类算法相继被提出，如联合代数重建算法(Simultaneous algebraic reconstrution technique，SART)^[16]，乘型代数重建算法(Multiplicative ART，MART)^[17]，最大似然期望值最大算法(Maximum likelihood expectation maximization，MLEM)^[18]等。与ART算法相比，SART算法具有较好的抗噪声能力，可以得到更加平滑的重建图像，但同时也抹平了重建对象的细节特征，影响重建质量。MART算法具有更高的重建速度，但重建质量不高，在重建对象边缘存在严重的锯齿现象^[19]。MLEM算法同样具有较好的抗噪声能力，但是其计算量非常大，收敛速度较慢，实用价值较低。因此，本文以ART算法为基础，展开后续研究。

针对医学重建对象图像函数梯度(Gradient magnitude image，GMI)稀疏的特点，文献[20, 21]依据压缩感知(Compressive sensing，CS)理论提出了基于凸集投影约束和TV最速下降相结合的ASD-POCS算法。该算法在针对医学对象的重建问题上取得了较好的效果。ASD-POCS算法的实现过程可分为两个部分：(1)POCS部分：通过ART算法得到粗略重建结果并进行正项约束。(2)ASD部分：通过TV最速下降迭代法进行f的带有约束的TV最小化。若不满足迭代停止条件，则将ASD部分得到的结果作为POCS部分的初值继续迭代。该算法的最优化目标函数为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{min}}{{\left\| \mathit{\boldsymbol{f}} \right\|}_{{\rm{TV}}}} = {\rm{min}}\sum\limits_{{\rm{s}}, {\rm{t}}} {\left|\vec \nabla {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{s}}, {\rm{t}}}}\right|} = }\\ {{\rm{min}}\sum\limits_{{\rm{s}}, {\rm{t}}} {\sqrt {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{s}}, {\rm{t}}}}-{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{s}}-1, {\rm{t}}}}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{s}}, {\rm{t}}}}-{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{s}}, {\rm{t}} - 1}}} \right)}^2}} } } \end{array} $

(3)

易知TV范数就是GMI的l₁范数，TV范数最小化实质上就是GMI的l₁范数最小化。

2.3 PDM优化算法

根据CS理论，对于无法求出唯一解的欠定线性方程组，可以通过求解如下优化问题从而以压倒性概率得到精确解^[22]

$ \mathop {{\rm{min}}}\limits_x {\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\|_1}, {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\mathit{\boldsymbol{Mf}} = \mathit{\boldsymbol{p}} $

(4)

式中x表示具有稀疏特性的最优化目标函数，如ASD-POCS算法中的GMI。真实的火焰燃烧过程往往受到气流流速、局部当量比等参数的影响，在不同燃烧区域内的化学反应强度存在明显差异，使得火焰的化学发光场存在不规则的空间变化规律，直接将TV最小化的优化过程运用于火焰的重建将会严重影响火焰图像重建的质量。因此，针对火焰的图像特性重新选取一个最优化目标函数显得尤为重要。

投影残差是指对重建图像进行投影所得到的计算投影数据与原始投影数据之间的偏差，是检验重建结果与真实值吻合程度的评价指标，在一定程度上能够反映重建质量的好坏。本文依据CS理论与最速下降优化算法，以投影残差列向量PD的平方作为最优化目标函数，得到基于投影残差最小化的PDM算法。

$ {\rm{min}}{\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}}{\mathit{\boldsymbol{D}}^2}} \right\|_1} = {\rm{min}}\sum\limits_i {{{\left( {{M_i}\mathit{\boldsymbol{f}}-{\mathit{\boldsymbol{p}}_i}} \right)}^2}} $

(5)

2.4 重建评估指标

本文选用两个通用的图像质量评判标准来评价不同算法的仿真重建性能。

(1) 归一化均方根误差

$ NRMSE = \frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{f}}-{\mathit{\boldsymbol{f}}_0}} \right\|}_2}}}{{{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{f}}_0}} \right\|}_2}}} $

(6)

式中f和f₀分别为重建图像和参考图像的数据列向量，|| ||₂表示向量的l₂范数。NRMSE反映了重建结果偏离真实值的程度，值越小，表示重建图像的数值精确性越高。

(2) 峰值信噪比

$ PSNR = 10 \times {\rm{lg}}\frac{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{max}}}^2}}{{\frac{1}{{X \times Y}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{f}}-{\mathit{\boldsymbol{f}}_0}} \right\|}_2}}} $

(7)

式中f_max表示重建图像函数值的最大值，X，Y表示待重建图像的尺寸大小。PSNR表示信号最大可能功率与影响它表示精度的破坏性噪声功率的比值，值越大，说明重建图像失真越小。

对于真实的火焰重建问题，本文选用单位化的投影残差来定量描述重建结果与真实结果的偏差，其定义为

$ UPD = \frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{Mf}}-{p_0}} \right\|}_2}}}{{{p_{{\rm{max}}}}}} $

(8)

式中p_max表示初始投影数据的最大值。UPD可以在一定程度上表征图像重建结果的准确程度，其值越小，重建结果越接近真实值，但如果UPD过小，则可能导致图像失真^[12]。

3 结果与讨论 3.1 仿真实验

医学重建中常用的Shepp-Logan模型具有分片连续的特点，该模型图像边缘尖锐，图像函数梯度高度稀疏。然而，真实的火焰往往具有连续的GMI，S-L模型无法有效的表征真实火焰的结构特点。因此，本文采用一个GMI连续变化且和二维预混火焰具有相似结构特征的Sine模型，如图 2(a)所示，图例显示的是图像伪彩与光强间的对应关系。该模型尺寸为512×256。本文采用上述三种迭代重建算法，分别在180°范围内取6，9，12，18和36个均匀投影角度进行仿真实验(由于0°与180°投影数据重复，故180°不作为投影采集角度，例如6个均匀投影角度分别为0°，30°，60°，90°，120°，150°)。

取模型中心为投影中心，绕投影中心从多个角度对模型进行投影，每个投影角度下有512条平行光线，首、末光线间的距离为512个像素且不随角度改变。每个算法均进行500次迭代计算。

3.2 仿真结果与分析

图 2所示为使用三种算法分别在9和18个投影角度下重建得到的重建图像。从图中可以看出，ASD-POCS算法的重建图像结构紊乱，存在严重伪影，质量明显低于ART和PDM算法的重建结果，而且随着投影角度数的增加，图像重建质量没有显著改善；ART算法的重建质量整体较好，且随着投影角度数的增加，重建质量明显提升，但重建图像内部结构粗糙，丢失模型内部的细节特征；PDM算法的重建图像区域过渡光滑，无明显伪影，重建质量最好，尤其是在18个投影角度下，与重建模型基本一致。

用上文提及的两个图像质量评判指标对不同角度下不同算法的仿真图像重建结果进行定量分析，结果如图 3所示。从图中可以看出，在稀疏投影角度条件下，随着投影角度数的不断减少，图像重建质量迅速下降，这是由于投影角度数过少而导致的投影重建数据严重不足，使得迭代重建算法无法精确收敛得到高精度重建图像。此外，ASD-POCS算法的重建质量明显低于另外两种算法，这说明ASD-POCS算法不适用于对具有连续变化函数的对象进行重建。在不同投影角度条件下，PDM算法的重建质量始终好于ART算法(NP=18时，相比于ART算法，PDM算法的NRMSE下降了76.7%，PSNR提高了30.4%)，充分表明基于投影差值最小化的最优化过程能有效提高图像重建质量。

为了进一步分析三种算法的重建性能，本文绘出18个投影角度下的重建质量评估参数与迭代次数间的关系曲线，如图 4所示。从图中可以看出，相较于ART与ASD-POCS算法，PDM算法不仅重建质量更高，而且迭代收敛的速度更快。其次，在迭代初期，不同算法的图像重建质量均有一个较快的提升，随着迭代的继续进行，图像的质量趋于稳定。但是，ASD-POCS算法重建的质量参数PSNR在迭代前期会经历一个较长的波动段，而后才趋于稳定，这一现象进一步证明了该算法对此类重建对象的不适用性。

3.3 真实二维火焰重建

本文开展了的二维预混火焰重建实验，实验装置参见文献[5]。采用上文三种算法在稀疏角度下进行真实的火焰图像重建，实验评估三种算法在稀疏角度下对于火焰图像重建问题的适用性。

3.3.1 实验方案

火焰的OH*粒子浓度与燃烧状态密切相关^[23]，因此，本文以火焰的OH*化学发光场作为研究对象，使用对弱光敏感的ICCD相机进行实验。另一方面，本文实现的二维预混火焰相对稳定，因此仅使用一台ICCD相机在多个角度进行火焰OH*化学发光投影数据的采集。实验方案如图 5所示，在竖直面内绕火焰中心旋转相机，在0°~170°每间隔10°采集一次投影数据，获得二维火焰在18个均匀角度下的投影(180°与0°重复，不采集投影数据)。考虑到实际中存在的工程误差与背景噪声，本文对投影数据进行角度修正和去背景处理，以提高重建精度。

本文分别取18个投影数据中的9个与18个均匀角度投影数据进行重建，并将其与实际拍摄的火焰图像进行对比，分析三种算法对真实火焰图像的重建性能。受ICCD相机分辨率的限制，重建图像的分辨率选为256×128。

3.3.2 实验结果与分析

图 6所示为将稀疏投影角度下不同算法的重建结果进行单位化处理后得到的火焰OH*化学发光场相对强度分布图(剔除边缘无效区域，仅展示中心部分)。图 6(a)是从火焰炉正面对二维预混火焰进行直接拍摄获得的OH*化学发光场结构图像，它是二维火焰OH*化学发光强度沿着第三个维度的投影，在一定程度上能够反映二维火焰的结构特征，可以用于定性评估不同算法的重建效果。图例所示为图像伪彩与化学发光场相对强度值间的对应关系。图 6(b)~6(g)依次为9个和18个投影角度下采用ART，ASD-POCS和PDM算法得到的重建图像。从图中可以发现，18个投影角度下的重建结果明显优于9个投影角度下的重建结果，更加接近于真实火焰。ASD-POCS算法能够重建出火焰的基本轮廓，但得到的图像严重失真，火焰内部存在明显结构缺失，火焰整体被“抹平”，丢失重要细节特征；ART算法得到的火焰外表面结构粗糙，火焰顶部存在严重结构缺失(图中白色圆圈区域)，与真实二维火焰存在明显差别；PDM算法重建得到的火焰图像质量相对较好，尤其在18个投影角度下的重建图像成功捕捉到二维预混火焰的主要结构特征(如图中标记区域)，且火焰外表面连续无明显缺失，与真实的二维预混火焰接近。实验重建结果与仿真重建结果基本吻合。

图 7为9个和18个投影角度下的火焰重建UPD与迭代次数间的变化关系曲线图。从图中可以看出，PDM算法的重建收敛速度最快，UPD最小；ASD-POCS算法的重建收敛速度最慢，UPD最大。相较于ART算法，PDM算法的UPD在9个和18个投影角度下分别下降了28.5%和10.5%。这一结果进一步证实基于TV最小化的最优化过程不适用于对火焰图像的重建过程，基于投影残差最小化的PDM算法能有效加快图像重建收敛速度，提升重建质量。

4 结论

通过本文研究，得出以下结论：

(1) 经典医学稀疏角度重建算法严重丢失火焰的内部结构特征，无法实现稀疏角度下二维预混火焰的精确重建。

(2) 基于投影残差最小化的PDM算法在18个投影角度下得到的重建火焰图像与实际拍摄的二维预混火焰接近，捕捉到OH*化学发光场的主要结构特征。

(3) 相较于ART算法，PDM算法可以加快重建速度，提高重建质量，得到较高精度的重建结果，更适合应用于火焰的图像重建。

本文的实验重建存在一定误差，这可能是由投影数据的非同步采集而导致的。此外，设备加工精度、OH*自发辐射自吸收效应以及算法迭代过程的误差都会对实验重建精度产生一定影响，在今后的研究中将会从以下几个方面进行改进：

(1) 利用光纤探头实现对火焰的稀疏角度投影数据同步采集。

(2) 对OH*化学发光的自吸收效应进行研究，寻找合适的修正方法。

(3) 进一步对重建算法进行优化，提高算法重建精度与速度。

本文主要针对二维图像的重建展开研究，但二维重建与三维重建的原理基本一致，因此本文的相关算法可以很好地拓展到三维图像重建领域。此外，火焰的化学发光特性与燃烧的放热率、温度等重要燃烧参数密切相关，通过重建得到火焰的化学发光场进而获得燃烧过程的其他参数信息，是CTC后续研究的重要方向。